Método das divisões

Em matemática, o método das divisões permite a transformação de frações, equivalentes e não equivalentes a uma fração decimal, na forma de expansão decimal. Este método é um detalhamento do método de dividir o numerador pelo denominador para transformar a fração em número decimal. São usadas sucessivas divisões euclidianas para se determinar a parte inteira, os décimos, os centésimos, os milésimos, etc. do número racional que representa a fração.

O método

Todo número racional $p$ pode ter sua expansão decimal escrita da seguinte maneira :

$p=a_n\times 10^n+...+a_1\times 10+a_0+\frac{b_1}{10}+\frac{b_2}{10^2}+\frac{b_3}{10^3}...$

Pode-se escrever $p$, de forma mais simplificada, da seguinte maneira:

$p=a_n...a_1{a}_0,b_1{b}_2{b}_3...$,

onde $a_n,...,a_1,a_0,b_1,b_2,b_3,...$ são algarismos de 0 a 9. Nota-se que as casas depois da vírgula (ou parte fracionária positiva) pode ser escrita como uma soma de frações decimais, as quais tem como numerador o número de sua respectiva casa decimal. Esse método pode ser utilizado tanto em uma fração ordinária que é equivalente a uma fração decimal quanto nas que não são equivalentes a uma fração decimal.

No caso específico de um racional $a/b$ que está entre 0 e 1, para gerar a sua expressão decimal $0,q_1{q}_2{q}_3...$ são realizadas repetidas divisões euclidianas, onde cada $q_i$ se refere a um quociente e $r_i$ se refere a um resto de cada divisão euclidiana, observando-se que:

• $10\times a=q_1\times b+r_1$, com $0\le r_1\le b$;
• $10\times r_1=q_2\times b+r_2$, com $0\le r_2\le b$;
• $10\times r_2=q_3\times b+r_3$, com 0 $\le r_3\le b$;

e assim sucessivamente, continuando este processo até se chegar ao primeiro resto $r_i$ nulo ou, caso a fração não seja equivalente a uma fração decimal, gerando-se uma expansão decimal infinita periódica:

$\frac{a}{b}=\frac{q_1}{10}+\frac{q_2}{100}+\frac{q_3}{1000}+...=0,q_1{q}_2{q}_3...$

Em outras palavras, o método se encerra quando houver a primeira repetição de resto, notando-se que, se $r_i$ for igual a $b$, é gerada uma dízima periódica.

Caso das frações não equivalentes a uma fração decimal

Quando uma fração não é equivalente a uma fração decimal, a sua expansão decimal é, obrigatoriamente, uma expansão infinita periódicaPredefinição:Nota de rodapé. Contudo, o método pode ser utilizado para descobrir a sua expansão decimal, pois existe, a partir de uma certa casa decimal, uma repetição de dígitos (um período de expansão), que é o primeiro e menor bloco de repetição que aparece e se repete sucessivamente no restante da expansão decimal.

Exemplos

Abaixo são apresentados alguns exemplos.

• $\frac{255}{1000}=\frac{2}{10}+\frac{5}{100}+\frac{5}{1000}=0,255$;
• $\frac{23}{5}=\frac{46}{10}=4+\frac{6}{10}=4,6$;
• $\frac{7}{4}=1,75$;
• $\frac{1}{3}=0,33...=0,\bar{3}$.

No caso do penúltimo exemplo, nota-se que, como $7=1\times 4+3$, então

$\frac{7}{4}=\frac{1\times 4+3}{4}=1+\frac{3}{4}$.

Prosseguindo, determina-se a casa dos décimos

$\frac{3}{4}=\frac{1}{10}\times \frac{30}{4}=\frac{1}{10}\times \frac{7\times 4+2}{4}=\frac{1}{10}\times (7+\frac{2}{4})=\frac{7}{10}+\frac{2}{40}$,

de modo que

$\frac{7}{4}=1+\frac{7}{10}+\frac{2}{40}$

Da mesma forma para determinar a casa dos centésimos

$\frac{2}{40}=\frac{1}{10}\times \frac{20}{40}=\frac{1}{100}\times \frac{20}{4}=\frac{1}{100}\times \frac{4\times 5+0}{4}=\frac{1}{100}\times (5+\frac{0}{4})=\frac{5}{100}$

e, portanto,

$\frac{7}{4}=1+\frac{7}{10}+\frac{5}{100}=1,75$.

Nota-se que, a cada passo do método, busca-se escrever a fração decimal que representa a casa decimal. Agora, para o caso do último exemplo, ou seja, da fração $\frac{1}{3}$, como o numerador é menor que o denominador, segue que a parte inteira é $0$. Determina-se a casa dos décimos

$\frac{1}{3}=\frac{1}{10}\times \frac{10}{3}=\frac{1}{10}\times \frac{3\times 3+1}{3}=\frac{1}{10}\times (3+\frac{1}{3})=\frac{3}{10}+\frac{1}{30}$,

e a casa dos centésimos

$\frac{1}{30}=\frac{1}{10}\times \frac{10}{30}=\frac{1}{100}\times \frac{10}{3}=\frac{1}{100}\times \frac{3\times 3+1}{3}=\frac{1}{100}\times (3+\frac{1}{3})=\frac{3}{100}+\frac{1}{300}.$

Percebe-se que as divisões acima estão gerando repetição, de modo que é possível afirmar a fração leva a uma dízima periódica, ou seja, a sua expansão decimal é infinita e periódica. Assim:

$\frac{1}{3}=0+\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+...=0,33...=0,\bar{3}$.

Formalização do método das divisões

A formalização do método é feita considerando-se apenas a parte fracionária, sem se considerar a parte inteira. Para tal, consideram-se os racionais escritos como uma fração $\frac{a}{b}$, com $0<a<b$, sendo cada parte da expansão decimal realizada separadamente. Para a casa dos décimos, é realizada a primeira divisão euclidiana, entre $a$ e $b$:

$\frac{a}{b}=\frac{10\times a}{10\times b}=\frac{1}{10}\frac{q_1\times b+r_1}{b}=\frac{q_1}{10}+\frac{r_1}{10\times b}$, onde $0\le r_1<b$.

Assim, como $0<a<b$, segue que $0<10\times a<10\times b$. Como $10\times a=q_1\times b+r_1$, pode-se escrever $0<q_1\times b+r_1\times b$. Vale ressaltar que $r_1\ge 0$, de modo que $0\le q_1\le 9$. Por outro lado,

$0\le r_1<b\Rightarrow 0\le r_1<\frac{10\times b}{10}\Rightarrow 0\le \frac{r_1}{10\times b}<\frac{1}{10}$.

Logo, segue que em $\frac{a}{b}$ cabem apenas $q_1$ décimos e esse primeiro passo pode ser resumido como:

$\frac{a}{b}=\frac{q_1}{10}+\frac{r_1}{10\times b}$, onde $0\le \frac{r_1}{10\times b}<\frac{1}{10}$.

Se ocorrer $r_1=0$, segue que $\frac{a}{b}=\frac{q_1}{10}$ e a aplicação do método está finalizada (ou seja, $\frac{a}{b}$ é um número com um número apenas após a vírgula). Caso $r_1\ne 0$, segue-se para a próxima casa, a dos centésimos. Supondo, então, $0<r_1<b$, é realizada uma segunda divisão euclidiana

$\frac{r_1}{10\times b}=\frac{10\times r_1}{100\times b}=\frac{1}{100}\frac{q_2\times b+r_2}{b}=\frac{q_2}{100}+\frac{r_2}{100\times b}$, onde $0\le r_2<b$.

Como $0<10\times r_1<10\times b$ pode ser escrito como $0<q_2\times b+r_2<10\times b$, e como $r_2\ge 0$, segue que $0\le q_2\le 9$. Por outro lado, $0\le r_2<b$ dá $0\le \frac{r_2}{100\times b}<\frac{1}{100}$, e então segue que em $a/b$ cabem apenas $q_2$ centésimos.

Resumindo, se

$\frac{a}{b}=\frac{q_1}{10}+\frac{q_2}{100}\frac{r_2}{100\times b},0\le \frac{r_2}{100\times b}<\frac{1}{100}$

e, no caso em que $r_2=0$, tem-se a expansão $\frac{a}{b}=\frac{q_1}{10}+\frac{q_2}{100}$. Mas se $r_2\ne 0$, é preciso determinar a próxima casa decimal. Enquanto são encontrados restos não nulos, o processo é continuado. Ou seja, tendo sido determinado o dígito da $k$-ésima casa depois da vírgula, se $0<\frac{r_k}{10^k\times b}<\frac{1}{10^k}$, segue-se para a determinação do dígito da $(k+1)$-ésima casa; para isso, é realizada uma nova divisão euclidiana, para ver qual o maior múltiplo de $\frac{1}{10^{k+1}}$ que cabe em $\frac{r_k}{10^k\times b}$.