Método de Numerov

Método de Numerov é um método numérico para resolver uma Equação diferencial ordinária de segunda ordem cujo termo de derivada de primeira ordem não aparece. Este método é implícito, mas se torna explícito quando equação diferencial é linear (Métodos explícitos e implícitos).

O Método de Numerov foi desenvolvido por Boris Vasil'evich Numerov

O método

O Método de Numerov é usado para resolver equações diferenciais da seguinte forma:

$(\frac{d^2}{d{x}^2}+f(x))y(x)=0$

A função $y(x)$ é definida no intervalo [a,b] em pontos equidistantes $x_n$. Começando por dois valores da função consecutivos $x_{n-1}$ e $x_n$ os remanescentes podem ser calculados por:

$y_{n+1}=\frac{(2-\frac{5h^2}{6}{f}_n)y_n-(1+\frac{h^2}{12}{f}_{n-1})y_{n-1}}{1+\frac{h^2}{12}{f}_{n+1}}$

onde $f_n=f(x_n)$ e $y_n=y(x_n)$ são os valores da função no ponto $x_n$ e $h=x_n-x_{n-1}$ é a distância entre dois pontos consecutivos.

Equações não-lineares

Para equações não-lineares de forma

$\frac{d^2}{d{t}^2}y=f(t,y)$

o método é dado por

$y_{n+1}=2y_n-y_{n-1}+\frac{1}{12}{h}^2(f_{n+1}+10f_n+f_{n-1}).$

Este método é implícito que se torna explícito como dito anteriormente se a função f é linear em y. A ordem no problema é 4. Predefinição:Harv.

Aplicação

Em física numérica uma das aplicações deste método é na resolução da Equação de Schrödinger radial para potenciais arbitrários

$[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }(\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}r-\frac{l(l+1)}{r^2})+V(r)]R(r)=ER(r)$

que pode ser reescrita na forma

$[\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V(r))]u(r)=0$

com $u(r)=rR(r)$. Comparando esta equação com a definição do método de Numerov encontra-se

$f(x)=\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V(x))-\frac{l(l+1)}{x^2}$

e então é possível resolver numericamente a Equação radial de Schrödinger.

Derivação

Expandindo por Série de Taylor $y(x)$ em torno de $x_0$:

$y(x)=y(x_0)+(x-x_0)y^{\prime }(x_0)+\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}{y}^{″}(x_0)+\frac{(x-x_0{)}^3}{3!}{y}^{‴}(x_0)+\frac{(x-x_0{)}^4}{4!}{y}^{⁗}(x_0)+\frac{(x-x_0{)}^5}{5!}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x_0)+𝒪(h^6)$

Fazendo $h=x-x_0$ a distância entre $x$ e $x_0$, e invertendo $x=x_0+h$, pode-se escrever a equação acima como

$y(x_0+h)=y(x_0)+h{y}^{\prime }(x_0)+\frac{h^2}{2!}{y}^{″}(x_0)+\frac{h^3}{3!}{y}^{‴}(x_0)+\frac{h^4}{4!}{y}^{⁗}(x_0)+\frac{h^5}{5!}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x_0)+𝒪(h^6)$

Computacionalmente, isto significa dar um passo a frente iterativamente, se quisermos dar uma passo para trás, substitui-se todo h por -h para a equação $y(x_0-h)$:

$y(x_0-h)=y(x_0)-h{y}^{\prime }(x_0)+\frac{h^2}{2!}{y}^{″}(x_0)-\frac{h^3}{3!}{y}^{‴}(x_0)+\frac{h^4}{4!}{y}^{⁗}(x_0)-\frac{h^5}{5!}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x_0)+𝒪(h^6)$

Este rearranjo causou uma mudança no sinal. Em pontos igualmente espaçados, o enésimo ponto corresponde a $x_n$ se o espaço entre pontos adjacentes for h (com h pequeno para haver precisão). A equação discreta para $(x_{n-1},y_{n-1})$ e $(x_{n+1},y_{n+1})$ fica

$y_{n+1}=y(x_n+h)=y(x_n)+h{y}^{\prime }(x_n)+\frac{h^2}{2!}{y}^{″}(x_n)+\frac{h^3}{3!}{y}^{‴}(x_n)+\frac{h^4}{4!}{y}^{⁗}(x_n)+\frac{h^5}{5!}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x_n)+𝒪(h^6)$

$y_{n-1}=y(x_n-h)=y(x_n)-h{y}^{\prime }(x_n)+\frac{h^2}{2!}{y}^{″}(x_n)-\frac{h^3}{3!}{y}^{‴}(x_n)+\frac{h^4}{4!}{y}^{⁗}(x_n)-\frac{h^5}{5!}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x_n)+𝒪(h^6)$

A soma das duas equações resulta em

$y_{n-1}+y_{n+1}=2y_n+h^2{y}^{\prime }{\text{'}}_n+\frac{h^4}{12}{y}^{‴}{\text{'}}_n+𝒪(h^6)$

Resolvendo a equação para $y^{\prime }{\text{'}}_n$ substituindo-o pela expressão $y^{\prime }{\text{'}}_n=-f_n{y}_n$ obtida da definição de equação diferencial

$h^2{f}_n{y}_n=2y_n-y_{n-1}-y_{n+1}+\frac{h^4}{12}{y}^{‴}{\text{'}}_n+𝒪(h^6)$

Toma-se a derivada segunda da definição da nossa equação diferencial e obtemos

$y^{⁗}(x)=-\frac{d^2}{d{x}^2}[f(x)y(x)]$

Substituindo a derivada segunda $\frac{d^2}{d{x}^2}$ pelo Coeficiente diferencial de segunda ordem para $f_n{y}_n$ (toma-se a diferença para frente e para trás juntas, não difereça para frente dupla ou diferença para trás dupla)

$h^2{f}_n{y}_n=2y_n-y_{n-1}-y_{n+1}-\frac{h^4}{12}\frac{f_{n-1}{y}_{n-1}-2f_n{y}_n+f_{n+1}{y}_{n+1}}{h^2}+𝒪(h^6)$

Rearranjando a equação e isolando $y_{n+1}$ obtém-se

$y_{n+1}=\frac{(2-\frac{5h^2}{6}{f}_n)y_n-(1+\frac{h^2}{12}{f}_{n-1})y_{n-1}}{1+\frac{h^2}{12}{f}_{n+1}}+𝒪(h^6).$

O método de Numerov é obtido se ignorarmos o termo $h^6$ e a ordem de convergência, assumindo estabilidade, é 4.

Referências

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  Este livro inclui as seguintes referências:
• Predefinição:Citar periódico
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Ligações externas

• Lecture notes: Computerphysik und Numerik - by Jan Krieger
• Lecture notes of Werner Scholz - At Vienna University of Technology
• Lecture notes of Alexander Wagner