Métrica interior de Schwarzschild

Na teoria da relatividade geral de Einstein, a métrica de Schwarzschild interior (também solução de Schwarzschild interior ou solução de fluido de Schwarzschild) é uma solução exata para o campo gravitacional no interior de um corpo esférico não rotativo que consiste em um fluido incompressível (implicando que a densidade é constante em todo o corpo) e tem pressão zero na superfície. Esta é uma solução estática, o que significa que não muda com o tempo. Foi descoberto por Karl Schwarzschild em 1916, que antes havia encontrado a métrica Schwarzschild externa.

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Coordenadas esféricas

A métrica Schwarzschild interna é enquadrada em um sistema de coordenadas esféricas com o centro do corpo localizado na origem, mais a coordenada de tempo. Seu elemento de linha é

$c^2{d\tau }^2=\frac{1}{4}{(3\sqrt{1-\frac{r_s}{r_g}}-\sqrt{1-\frac{r^2{r}_s}{r_g^3}})}^2{c}^{2}d{t}^2-{(1-\frac{r^2{r}_s}{r_g^3})}^{-1}d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2),$

onde

• $\tau$ é o tempo adequado (tempo medido por um relógio que se move ao longo da mesma linha de mundo com a partícula de teste).
• $c$ é a velocidade da luz.
• $t$ é a coordenada de tempo (medida por um relógio estacionário localizado infinitamente longe do corpo esférico).
• $r$ é a coordenada radial de Schwarzschild. Cada superfície de constante $t$ e $r$ tem a geometria de uma esfera com circunferência mensurável (adequada) $2\pi r$ e área $4\pi r^2$ (como pelas fórmulas usuais), mas a deformação do espaço significa que a distância adequada de cada concha ao centro do corpo é maior do que $r$.
• $\theta$ é a colatitude (ângulo do norte, em unidades de radianos).
• $\phi$ é a longitude (também em radianos).
• $r_s$é o raio de Schwarzschild do corpo, que está relacionado à sua massa $M$ por $r_s=2GM/c^2$, onde $G$ é a constante gravitacional. (Para estrelas e planetas comuns, isso é muito menor do que seu raio adequado.)
• $r_g$é o valor do $r$-coordenar na superfície do corpo. (Isso é menor do que seu raio adequado (interior mensurável), embora para a Terra a diferença seja de apenas cerca de 1,4 milímetros.)

Esta solução é válida para $r\le r_g$. Para obter uma métrica completa do campo gravitacional da esfera, a métrica interna de Schwarzschild deve ser combinada com a externa,

$c^2{d\tau }^2=(1-\frac{r_s}{r})c^{2}d{t}^2-{(1-\frac{r_s}{r})}^{-1}d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2),$

na superfície. Pode ser facilmente visto que os dois têm o mesmo valor na superfície, ou seja, em $r=r_g$.

Outras formulações

Definindo um parâmetro

${ℛ}^2=r_g^3/r_s$, we get

$c^2{d\tau }^2=\frac{1}{4}{(3\sqrt{1-\frac{r_g^2}{{ℛ}^2}}-\sqrt{1-\frac{r^2}{{ℛ}^2}})}^2{c}^{2}d{t}^2-{(1-\frac{r^2}{{ℛ}^2})}^{-1}d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2).$

Também podemos definir uma coordenada radial alternativa $\eta =\arcsin \frac{r}{ℛ}$ e um parâmetro correspondente ${\eta }_g=\arcsin \frac{r_g}{ℛ}=\arcsin \sqrt{\frac{r_s}{r_g}}$, produzindo

$c^2{d\tau }^2={\left(\frac{3\cos {\eta }_g-\cos \eta }{2}\right)}^2{c}^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{{\cos }^2\eta }-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2).$