Notação Steinhaus-Moser

Predefinição:ESR2 Em matemática, a notação Steinhaus–Moser é uma notação utilizada para expressar números extremamente grandes. É uma extensão da notação de Steinhaus que utiliza polígonos em torno de números inteiros.

Definições

um número Predefinição:Math num triângulo significa Predefinição:Math

un número Predefinição:Math num quadrado é equivalente "ao número Predefinição:Math dentro de Predefinição:Math triângulos, os quais estão todos aninhados."

um número num pentágono é equivalente "ao número Predefinição:Math dentro de Predefinição:Math quadrados, os quais estão todos aninhados."

etc.: Predefinição:Math escrito num polígono de Predefinição:Math lados é equivalente "ao número Predefinição:Math dentro de Predefinição:Math polígonos encaixados de (Predefinição:Math) lados". Numa série de polígonos encaixados, estes estão associados para dentro. O número Predefinição:Math dentro de dois triângulos é equivalente a Predefinição:Math dentro de un triângulo, o qual é por sua vez equivalente a Predefinição:Math elevado à potência Predefinição:Math.

Steinhaus só definiu o triângulo, o quadrado, e um círculo , este último o equivalente ao pentágono definido anteriormente.

Valores especiais

Moser definiu:

• mega é o equivalente ao número 2 num pentágono:
• megiston é o equivalente ao número 10 num círculo: ⑩

O número de Moser é o número representado por "2 num megagon", onde um megagon é um polígono com "mega" lados.

Notações alternativas:

• Utilizar o quadrado de funções(x) e triângulo(x)
• Deixar M(Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math) ser o número representado pelo número Predefinição:Math em Predefinição:Math adicionado p para polígonos; então as regras são:
• Y
  • mega =$M(2,1,5)$
  • megagón =$M(10,1,5)$
  • moser =$M(2,1,M(2,1,5))$

Mega

Um mega, ②, é um número muito grande, e ② = quadrado(quadrado(2)) = quadrado(triângulo(triângulo(2))) = quadrado(triângulo(22)) = quadrado(triângulo(4)) = quadrado(44) = quadrado(256) = triângulo(triângulo(triângulo(...triângulo(256)...))) [256 triângulos] = triângulo(triângulo(triângulo(...triângulo(256256)...))) [255 triângulos] ~ triângulo(triângulo(triângulo(...triângulo(3.2 × 10616)...))) [254 triângulos] = ...

Utilizando a outra notação:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Com a função vem mega = $f(x)=x^x$$f^{256}(256)=f^{258}(2)$ onde o superíndice denota uma potência funcional, não uma potência numérica.

Temos (de notar a convenção que as potências estão avaliadas da direita para a esquerda):

• M(256,2,3) =$(256^{256}{)}^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
• M(256,3,3) = ≈$(256^{256^{257}}{)}^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$$256^{256^{256^{257}}}$

De modo parecido:

• M(256,4,3) ≈$256^{256^{256^{256^{257}}}}$
• M(256,5,3) ≈$256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}$

etc.

Assim:

• mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow {)}^{256}257$, onde $(256\uparrow {)}^{256}$ denota uma potência funcional da função $f(n)=256^n$.

Arredondando mais (reenquadrando o 257 no final por 256), conseguimos mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$, utilizando a notação de Knuth.

Após uns poucos passos iniciais, o valor é cada vez aproximadamente igual a $n^n$$256^n$. De facto, é aproximadamente igual a $10^n$. Utilizando base 10 poderes, conseguimos:

• $M(256,2,3)\approx 10^{1.99\times 10^{619}}$ (${\log }_{10}616$ está adicionado a 616)
• $M(256,3,3)\approx 10^{10^{1.99\times 10^{619}}}$ ($619$ está adicionado a $1.99\times 10^{619}$, o qual é insignificante; portanto só um 10 está adicionado no inferior)

...

• mega = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow {)}^{255}1.99\times 10^{619}$, onde denota um poder funcional da função $(10\uparrow {)}^{255}$$f(n)=10^n$. Daí $10\uparrow \uparrow 257<\text{mega}<10\uparrow \uparrow 258$

Número de Moser

Foi provado que na notação de seta encadeada de Conway,

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}<3\to 3\to 4\to 2,$

E, na notação com setas de Knuth,

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}<f^3(4)=f(f(f(4))),\text{ onde }f(n)=3{\uparrow }^{n}3.$

Portanto, o número de Moser, apesar de ser incompreensivelmente grande, é incrivelmente pequeno quando comparado com número de Graham:

$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\ll 3\to 3\to 64\to 2<f^{64}(4)=\text{o número de Graham}.$

Ver também

• Função de Ackermann