Notação de Leibniz

Predefinição:Sem fontes Em cálculo, a notação de Leibniz, nomeada em honra ao filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, usa os símbolos dx e dy para representar incrementos "infinitamente pequenos" (ou infinitesimais) de x e y, assim como Δx e Δy representam incrementos finitos de x e y. Sendo y uma função de x

$y=f(x),$

a derivada de y com relação a x, que mais tarde veio a ser conhecida como,

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x},$

era, de acordo com Leibniz, o quociente de um incremento infinitesimal de y por um incremento infinitesimal de x, ou

$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x),$

onde, à direita está a notação de Lagrange para a derivada de f em x.

Similarmente, embora os matemáticos atualmente vejam uma integral

$\int f(x)dx$

como um limite

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }x,$

onde Δx é um intervalo contendo x_i, Leibniz o entendia como uma soma (o símbolo da integral denota um somatório) de infinitas quantidades infinitesimais f(x) dx.

Uma vantangem do ponto de vista de Leibniz é sua compatibilidade com análise dimensional. Por exemplo, na notação de Leibniz, a derivada de segunda ordem (usando diferenciação implícita) é:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f^{″}(x)$

e tem as mesmas unidades dimensionais que $\frac{y}{x^2}$. Note que $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ é a forma reduzida de $\frac{d\frac{dy}{dx}}{dx}$, ou, em outras palavras a segunda variação infinitesimal de y sobre o quadrado da primeira variação infinitesima de x. O denominador não é nem o diferencial de x², nem o segundo diferencial de x.