Número de Perrin

Em matemática os números de Perrin são definidos pela relação de recorrência

Predefinição:Math para Predefinição:Math,

com valores iniciais

Predefinição:Math.

A sequência dos números de Perrin começa com

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... Predefinição:OEIS

O número de diferentes conjuntos independentes máximos em um Predefinição:Math-vértice grafo ciclo é contado pelo Predefinição:Math-ésimo número de Perrin para Predefinição:Math.

História

Esta sequência foi mencionada implicitamente por Édouard Lucas (1876). Em 1899 e mesma sequência foi mencionada explicitamente por Raoul Perrin. O mais extensivo tratamento desta sequência foi dado por Adams e Shanks (1982).

Propriedades

Função geratriz

A função geratriz da sequência de Perrin é

$G(P(n);x)=\frac{3-x^2}{1-x^2-x^3}.$

Fórmula matricial

${\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}P\left(n\right)\\ P(n+1)\\ P(n+2)\end{array}\right)$

Fórmula tipo Binet

Espiral de triângulos equilaterais com comprimentos de lado que seguem a sequência de Perrin

Os números da sequência de Perrin podem ser escritos em termos das potências das raízes da equação

$x^3-x-1=0.$

esta equação tem 3 rraízes; uma raiz real p (conhecida como número plástico) e duas raízes complexas conjugadas q e r. dadas estas três raízes, a sequência de Perrin análoga à fórmula de Binet da sequência de Lucas é

$P\left(n\right)=p^n+q^n+r^n.$

Como as magnitudes das raízes complexas q e r são ambas menores que 1, as potências destas raízes convergem para 0 para n grande, e a fórmula se reduz a

$P\left(n\right)\approx p^n.$

esta fórmula pode ser usada para calcular rapidamente valores da sequência de Perrin para n grande. A razão de termos sucessivos na sequência de Perrin se aproxima de p, também conhecido como número plástico, que tem um valor de aproximadamente 1,324718. esta constante tem a mesma relação com a sequência de Perrin como acontece com a proporção áurea em relação à sequência de Lucas. Conexões similares também exestem entre p e a sequência de Padovan, entre a proporção áurea e os números de Fibonacci, e entre a proporção prateada e os números de Pell.

Bibliografia

• Predefinição:Citar periódico

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Leitura adicional

• Predefinição:Citar periódico

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Ligações externas

• Zentrum für Hirnforschung Institut für Medizinische Kybernetik und Artificial Intelligence
• Perrin Primality Tests