Número hiper-real

Conjuntos de números

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset \cdots$ $𝕀\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset \cdots$

Os números hiper-reais.

O conjunto dos números hiper-reais é uma maneira de tratar quantidades infinitas e infinitesimais. Os hiper-reais, ou reais não padrão, *R, são uma extensão dos números reais R que contém números maiores do que qualquer coisa na forma

$1+1+\cdots +1+\cdots$

Esse número é infinito, e seu inverso é infinitesimal. O termo "hiper-real" foi introduzido por Edwin Hewitt em 1948.

Abordagem intuitiva

Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor matemático a uma abordagem intuitiva do cálculo infinitesimal.Predefinição:Carece de fontes

Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo, $y=t^2$ pode ser calculada através da razão $\mathrm{\Delta }y/\mathrm{\Delta }t$ para um valor de $\mathrm{\Delta }t$ que seja muito pequeno, porém maior que zero. O resultado desta conta é $v=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}=2t_0+\mathrm{\Delta }t$, que difere do resultado esperado $2t_0$ pela quantidade pequena, porém não nula, $\mathrm{\Delta }t$. Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.

O problema com este raciocínio é que não é claro o que pode ser desprezado. Então, introduze-se um novo tipo de número, chamado de infinitesimal, $ϵ$ que satisfaz $-a<ϵ<a$ para todo número real a > 0. O único número real que é infinitesimal é o zero, O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais.

Dois números reais a e b estão infinitamente próximos quando sua diferença a - b for um infinitesimal. Se $ϵ>0$ for um número infinitesimal, então seu inverso $1/ϵ$ é um número infinito positivo, e $-1/ϵ$ infinito negativo. Os números hiper-reais que não são infinitos são chamados de números finitos. Os números hiper-reais podem ser manipulados algebricamente da mesma forma que os números reais.

A definição da derivada pode então ser dada como sendo o número real que está infinitamente próximo de $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

Por exemplo, para $y=x^2$, o resultado é $2x_0+\mathrm{\Delta }x$, e, como $\mathrm{\Delta }x$ é um infinitesimal, o (único) número real que está infinitamente próximo de $2x_0+\mathrm{\Delta }x$ é $2x_0$

Princípio da transferência

Os números hiper-reais satisfazem o princípio da transferência, uma versão rigorosa da lei da continuidade heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de primeira ordem sobre R também são válidas no *R. Por exemplo, a lei comutativa da adição, x + y = y + x, vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que R seja um campo real fechado, então é *R. Desde que $\sin \pi n=0$ para todos os inteiros n, há também um $\sin \pi H=0$ para todos hiper-inteiros H. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do Teorema de Łoś' de 1955.

Preocupações sobre a correção de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com Arquimedes trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o método da exaustão. Nos anos de 1960, Abraham Robinson provou que hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.

A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de análises matemáticas são chamados de análises não padronizadas. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada def(x) se torna $f^{\prime }(x)=\mathrm{s}\mathrm{t}\left(\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)$ para um infinitesimal $\mathrm{\Delta }x$, onde st(·) denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.

Ver também

• Número surreal

Bibliografia

• Predefinição:Citation
• Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
• Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
• Predefinição:Citation
• Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
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Ligações externas

• Crowell, Calculus. A text using infinitesimals.
• Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. A gentle introduction.
• Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
• Stroyan, A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus