Número primo de Wagstaff

Um número primo de Wagstaff é um número primo p da forma

$p=\frac{2^q+1}{3}$

onde q é outro número primo. Os números primos de Wagstaff são assim designados em homenagem ao matemático Samuel S. Wagstaff Jr., e o site Prime Pages indica que François Morain os designou assim num discurso na conferencia Eurocrypt 1990. Estão relacionados com a nova conjetura de Mersenne e têm aplicações no campo da criptologia.

Os rimeiros números primos de Wagstaff

Os três primeiros números primos de Wagstaff são 3, 11 e 43 porque

$3=\frac{2^3+1}{3},$

$11=\frac{2^5+1}{3},$

$43=\frac{2^7+1}{3}.$

Os primeiros números primos de Wagstaff Predefinição:OEIS são:

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403.

Os exponentes q

Os primeiros exponetes q que produzem números primos de Wagstaff ou provavelmente primos Predefinição:OEIS são:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191.

Já foi demonstrada a primalidade destes números com q menor ou igual que 42737. Os de exponente maior são "provavelmente primos", e o maior de todos os que se conhecem na atualidade, $\frac{2^{986191}+1}{3}$, foi descoberto por Vincent Diepeveen em junho de 2008.

Generalizações

É natural considerar mais números genéricos da forma

$Q(b,n)=\frac{b^n+1}{b+1}$

onde a base $b\ge 2$. Como para $n$ ímpar se tem

$\frac{b^n+1}{b+1}=\frac{(-b{)}^n-1}{(-b)-1}=R_n(-b)$

estes números são chamados "números de Wagstaff de base $b$", e por vezes considerados como um caso de números repunit com base negativa $-b$.

Ligações externas

• Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Wagstaff» (em inglês). The Prime Pages. Universidade do Tennessee.
• Renaud Lifchitz, Um teste eficiente para números provavelmente primos da forma (2^p+1)/3.