Partição de um intervalo

Uma partição de um intervalo sendo usada em uma soma de Riemann. A partição propriamente dita é mostrada em cinza embaixo, com um subintervalo indicado em vermelho.

Em matemática, uma partição de um intervalo

$[a,b]$

, geralmente denotada

$P$

ou

$\mathrm{\Pi }$

, na reta real é uma sequência finita

$x_0,x_1,x_2,\dots ,x_k$

de números reais tal que:

$a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_k=b.$

Em outras palavras, uma partição de um intervalo compacto

$I$

é uma sequência estritamente crescente de números (que pertence ela própria ao intervalo

$I$

) que começa no ponto inicial de

$I$

e termina no ponto final de

$I$

.

Todo intervalo da forma $[x_i,x_{i+1}]$ é referido como um subintervalo de partição $x$.

Estas partições são utilizadas na teoria da integral de Riemann e da integral de Riemann–Stieltjes.

Refinamento da partição

Outra partição do intervalo dado, $Q$, é definida como um refinamento da partição, $P$, quando contém todos os pontos de $P$ e possivelmente alguns outros pontos também. A partição de $Q$ é considerada "mais fina" que $P$. Dadas duas partições, $P$ e $Q$, pode-se sempre formar seu refinamento comum, denotado $P\vee Q$, que consiste em todos os pontos de $P$ e $Q$, renumerados em ordem.

Exemplos

Um exemplo de partição é o seguinte:Predefinição:Quote

$\mathrm{\Pi }=\{1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},2\}.$

${\mathrm{\Pi }}^{\prime }=\{1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{4},2\}$

, com

${\mathrm{\Pi }}^{\prime }$

mais "fina" que

$\mathrm{\Pi }$

.

Norma de uma partição

A norma de uma partiçãoPredefinição:Quoteé o comprimento do mais longo deste subintervalos

$\max \{(x_i-x_{i-1}):i=1,\dots ,n\}.$

Aplicações

Partições são usadas na teoria da integral de Riemann, da integral de Riemann–Stieltjes e da integral regulada. Especificamente, conforme partições mais finas de um intervalo são consideradas, sua norma se aproxima de zero e a soma de Riemann baseada em uma dada partição se aproxima da integral de Riemann.

Partições marcadas

Uma partição marcada é uma partição de um dado intervalo junto com uma sequência finita de números $t_0,\dots ,t_{n-1}$ sujeita às condições que, para cada $i$,Predefinição:QuoteEm outras palavras, uma partição marcada é uma partição junto com um ponto distinguido de cada subintervalo. Sua norma é definida da mesma forma que uma partição comum. É possível definir uma ordem parcial no conjunto de todas as partições marcadas ao dizer que uma partição marcada é maior que a outra se a maior for um refinamento da menor.

Suponha que $x_0,\dots ,x_n$ junto com $t_0,\dots ,t_{n-1}$ é uma partição marcada de $[a,b]$ e que $y_0,\dots ,y_m$ junto com $s_0,\dots ,s_{m-1}$ é outra partição marcada de $[a,b]$. Dizemos que $y_0,\dots ,y_m$ e $s_0,\dots ,s_{m-1}$ juntos são um refinamento da partição marcada $x_0,\dots ,x_n$ junto com $t_0,\dots ,t_{n-1}$ se, para cada número inteiro $i$ com $0\le 1\le n$, há um número inteiro $r(i)$ tal que $x_i=y_{r(i)}$ e tal que $t_i=s_j$ para algum $j$ com $r(i)\le j\le r(i+1)-1$. Dito de forma mais simples, um refinamento de um partição marcada toma a partição inicial e adiciona mais marcas, mas não tira nenhuma.

Ver também

• Integral de Riemann
• Integral de Riemann-Stieltjes
• Partição de um conjunto