Quantificação de unicidade

Na matemática e na lógica, a frase "existe um e apenas um" é usada para indicar que existe exatamente um objeto com uma determinada propriedade. Na lógica matemática, este tipo de quantificação é conhecido como quantificação de unicidade ou quantificação existencial única. A quantificação de unicidade costuma ser denotada com os símbolos "∃!" ou ∃=1". Por exemplo, a declaração formal

$\mathrm{\exists }!n\in \mathbb{N}(n-2=4)$

pode ser lida como "existe exatamente um número natural n tal que n - 2 = 4".

Provando unicidade

A técnica mais comumente usada para provar unicidade é provar a existência de uma entidade com a condição desejada primeiro; então, supor que existem duas entidades (digamos a e b) que deveriam ambas satisfazer a condição, e logicamente deduzir sua igualdade, isto é  a = b.

Com um simples exemplo, para mostrar que x + 2 = 5 só possui uma única solução, supomos que existem duas soluções primeiro, no caso a e b, satisfazendo x + 2 = 5. Logo

$a+2=5\text{ e }b+2=5.$

Por transitividade de igualdade,

$a+2=b+2.$

Por cancelamento,

$a=b.$

Este simples exemplo mostra como uma prova de unicidade é feita, com o resultado final sendo a igualdade das duas quantidades as quais satisfazem a condição. Devemos dizer, no entanto, que a existência/expressabilidade precisa ser provada antes da unicidade, senão não poderemos nem sequer supor a existência dessas duas quantidades para começar.

Redução para quantificações existenciais e universais comuns

A quantificação de unicidade pode ser expressada em termos dos quantificadores existencial e universal da lógica de predicados através da definição da fórmula ∃!x P(x) significando, literalmente,

$\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }y(P(y)\wedge y\ne x))$

que é equivalente a

$\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\forall }y(P(y)\to y=x)).$

Uma definição equivalente a qual possua a virtude de separar as noções de existência e unicidade em duas cláusulas, às custas da brevidade, é

$\mathrm{\exists }xP(x)\wedge \mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }z((P(y)\wedge P(z))\to y=z).$

Outra definição equivalente com a vantagem da brevidade é

$\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y(P(y)\leftrightarrow y=x).$

Generalizações

Uma generalização da quantificação de unicidade é a quantificação de contagem. Isso inclui tanto a quantificação da forma "existem exatamente k objetos tais que..." assim como "existe uma quantia infinita de objetos tal que..." e "existe apenas uma quantia finita de objetos tal que...". A primeira dessas formas é expressável usando quantificadores comuns, mas as duas últimas não podem ser expressadas na lógica de primeira ordem comum.

Veja também

• One-hot

Referências

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