Quantização (física)

Em física, uma quantização é um procedimento matemático que atribui um valor específico a um sistema físico; assim contrariando a ideia de que determinadas unidades, como energia e carga elétrica, eram continuas.

Definição formal

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética $(ℳ,\omega )$ pode ser definida formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert $\mathscr{H}$ tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico $f_i$ se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos ${\hat{f}}_i$ tais que:

1. $(f_i+f_j)\stackrel{}{^}={\hat{f}}_j+{\hat{f}}_j$
2. $(\lambda f_i)\stackrel{}{^}=\lambda {\hat{f}}_j\lambda \in ℝ$
3. $\{f_i,f_j\}\stackrel{}{^}=-i[{\hat{f}}_i,{\hat{f}}_j]$
4. $\hat{1}=I_{\mathscr{H}}$
5. Os operadores de posição ${\hat{q}}_i$ e seus momentos conjugados ${\hat{p}}_i$ atuam irreduzivelmente sobre $\mathscr{H}$.

Onde $I_{\mathscr{H}}$ é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, $\{\cdot ,\cdot \}$ é o parênteses de Poisson e $[\cdot ,\cdot ]$ é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar $\mathscr{H}\approx L^2({ℝ}^n)$ e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

${\hat{q}}_i\psi (q_i)=q_i\psi (q_i){\hat{p}}_i\psi (q_i)=-i\hslash \frac{\partial }{\partial q_i}\psi (q_i)$

Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

${\hat{p}}_i\psi (p_i)=p_i\tilde{\psi }(p_i){\hat{q}}_i\psi (p_i)=-i\hslash \frac{\partial }{\partial p_i}\tilde{\psi }(p_i)$

Sistemas quantizáveis

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética $(ℳ,\omega )$ se chama quantizável se existe um $S^1$-fibrado principal $\pi :{𝒬}_{ℳ}\to ℳ$ e uma 1-forma $\alpha$ sobre ${𝒬}_{ℳ}$, chamada variedade de quantização, tal que:

1. $\alpha$ é invariante sob a ação de $S^1[\approx U(1)]$
2. ${\pi }^{*}\omega =d\alpha$

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

$(ℳ,\omega )$ é quantizável se e somente se $\omega /h\in H^2(ℳ,\mathbb{Z})$,

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de $H^1(ℳ,\mathbb{Z})$

Primeira quantização

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.

• A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos P_i e Q_i que satisfazem as relações [Q_i,P_i] = ih/2π, [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0 e [Q_i,P_j] = 0.
• A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço $L^2({ℝ}^n)$ para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia ${ℝ}^{2n}$. Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

Segunda quantização

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.

• Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
• Quantização canônica covariante.
• Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
• Quantização geométrica.
• Aproximação variacional de Schwinger.

Referências

Bibliografia

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)