Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos é um tipo de relação que é estabelecida entre triângulos quando eles possuem os lados proporcionais e os ângulos congruentes.

Definição

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Sendo que dois lados homólogos (homo=mesmo, logos=lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }⟺(\begin{array}{c}\hat{A}\equiv \widehat{A^{\prime }}\\ \hat{B}\equiv \widehat{B^{\prime }}\\ \hat{C}\equiv \widehat{C^{\prime }}\end{array}\text{e}\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }})$

Razão de semelhança

Sendo $k$ a razão de semelhança entre os lados homólogos, temos:

$\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}=k$.

Então chamamos $k$ de razão de semelhança entre dois triângulos.

Observe também que, se $k=1$, os triângulos são congruentes.

Propriedades

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:

• Reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo.

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}ABC$

• Simétrica: se um triângulo é semelhante a outro, esse outro é semelhante ao primeiro.

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}RST⟺\mathrm{△}RST\sim \mathrm{△}ABC$

• Transitiva: se um triângulo é semelhante a outro, que por sua vez é semelhante a um terceiro triângulo, temos que o primeiro e o terceiro triângulo também são semelhantes.

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}RST\text{e}\mathrm{△}RST\sim \mathrm{△}XYZ⟺\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}XYZ$

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

$\overleftrightarrow{DE}//\overleftrightarrow{BC}⟺\mathrm{△}ADE\sim \mathrm{△}ABC$

Para demonstrar que dois triângulos são semelhantes é, conforme a definição, necessário demonstrar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais.

Portanto, essa demonstração será divida em duas partes, para demonstrar a relação entre os ângulos e os lados.

1° Parte: Ângulos congruentes

Tem-se, por hipótese que $\overleftrightarrow{DE}//\overleftrightarrow{BC}$.

Assim percebe-se que, pelo postulado das paralelas, temos:

$\hat{D}\equiv \hat{B}$ e $\hat{E}\equiv \hat{C}$, pois são ângulos correspondentes.

O ângulo $\hat{A}$ é comum aos dois triângulos.

Logo os dois triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes.

2° Parte: Lados homólogos proporcionais

Por se tratar de um par de paralelas cortadas por duas transversais, é possível utilizar o teorema de Tales.

Fazendo isso, pode-se observar a relação:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

É possível construir uma paralela a $\overleftrightarrow{AB}$ que passe por $E$.

Assim, essa paralela interceptará $\overline{BC}$ em um ponto $F$.

Essa construção garante que: $\overleftrightarrow{EF}//\overleftrightarrow{AB}$

Logo o quadrilátero $BDEF$ é um paralelogramo.

Sendo assim: $\overline{DE}\equiv \overline{BF}$ e $\overleftrightarrow{DE}//\overleftrightarrow{BF}$ .

Utilizando mais uma vez o teorema de Tales (dessa vez com $\overleftrightarrow{EF}$ e $\overleftrightarrow{AB}$ sendo paralelas e $\overleftrightarrow{AC}$ e $\overleftrightarrow{BC}$ transversais) obtêm-se:

$\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}$

Como $DE=BF$, pode-se escrever:

$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

Logo:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

E então têm-se que os lados homólogos são proporcionais.

Como os dois triângulos têm os ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes, por definição.

Logo, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Casos ou critérios de semelhança

1° Caso

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

Demonstração

Queremos demonstrar que, para dois triângulos $\mathrm{△}ABC$ e $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, vale:

$\hat{A}\equiv \widehat{A^{\prime }}\text{e}\hat{B}\equiv \widehat{B^{\prime }}⟹\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Para demonstrar isso, é útil supor, sem perda de generalidade, que os triângulos não são congruentes e que $\overline{AB}>\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$

Seja $D$ um ponto de $\overline{AB}$ tal que $\overline{AD}\equiv \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ e seja o triângulo $ADE$ com $\hat{D}\equiv \widehat{B^{\prime }}$ e $E$ no lado $\overline{AC}$.

Assim, é possível observar a seguinte congruência entre triângulos:

$\hat{A}\equiv \widehat{A^{\prime }}\text{e}\overline{AD}\equiv \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}\text{e}\hat{D}\equiv \widehat{B^{\prime }}(ALA)⟹\mathrm{△}ADE\equiv \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Observe que, como $\hat{B}\equiv \widehat{B^{\prime }}$ (por hipótese) e $\widehat{B^{\prime }}\equiv \hat{D}$ (por construção), tem-se que $\hat{B}\equiv \hat{D}$, o que implica $\overleftrightarrow{DE}//\overleftrightarrow{BC}$.

Conforme o teorema fundamental da semelhança, demonstrado acima, temos que $\overleftrightarrow{DE}//\overleftrightarrow{BC}$ implica $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}ADE$.

Visto que $\mathrm{△}ADE\equiv \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, vale que $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Logo, para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que dois de seus ângulos sejam ordenadamente congruentes.

2° Caso

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os dois triângulos são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga a do 1° caso, porém se utiliza de outro caso de congruência.

3° Caso

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga à demonstração dos dois casos anteriores, porém utiliza outro caso de congruência.

Propriedades notáveis

Seja dois triângulos semelhantes nos quais a razão de semelhança é $k$, vale:

• a razão entre os perímetros é $k$;
• a razão entre as alturas homólogas é $k$;
• a razão entre as medianas homólogas é $k$;
• a razão entre as bissetrizes internas homólogas é $k$;
• a razão entre os raios dos círculos inscritos é $k$;
• a razão entre os raios dos círculos circunscritos é $k$.

Ou seja, a razão entre dois elementos lineares homólogos é $k$.

Quanto à áreas temos os seguintes resultados: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é $k^2$

Demonstrações

Demonstrações das propriedades anteriores.

Razão entre os perímetros

Triângulos semelhantes

Se dois triângulos são semelhantes de razão $k$, então a razão entre os perímetros também é $k$.

Assim, seja os triângulos $\mathrm{△}ABC$ e $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, temos:

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }⟹\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}=k$.

Para essa demonstração é útil escrever essas relações da seguinte forma: $\{\begin{array}{c}a=a^{\prime }.k\\ b=b^{\prime }.k\\ c=c^{\prime }.k\end{array}$

Visto que o perímetro é a soma da medida de todos os lados, tem-se:

$p=a+b+c$ (perímetro de $\mathrm{△}ABC$)

$p^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }$ (perímetro de $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$)

Assim, tem-se que a razão entre os perímetros é:

$\frac{p}{p^{\prime }}=\frac{a+b+c}{a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }}=\frac{a^{\prime }.k+b^{\prime }.k+c^{\prime }.k}{a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }}=\frac{k.(a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime })}{a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }}=k$

Logo a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão entre os triângulos.

Razão entre as alturas

Imagem para demonstração

Se dois triângulos são semelhantes de razão $k$, então a razão entre as alturas também é $k$.

Por hipótese, tem-se:

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }⟹\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}=k\text{e}\hat{A}\equiv \hat{B}\equiv \hat{C}$

Seja o segmento $\overline{CH}$ altura relativa ao vértice $C$ em $\mathrm{△}ABC$ e o segmento $\overline{C^{\prime }{H}^{\prime }}$ altura relativa ao vértice $C^{\prime }$ em $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, tem-se:

$C\hat{H}B=C^{\prime }\widehat{H^{\prime }}{B}^{\prime }=90^{\circ }$

Como $C\hat{H}B=C^{\prime }\widehat{H^{\prime }}{B}^{\prime }=90^{\circ }$ e $\hat{B}\equiv \widehat{B^{\prime }}$, temos que $\mathrm{△}CHB\sim \mathrm{△}{C}^{\prime }{H}^{\prime }{B}^{\prime }$.

Dessa semelhança, obtêm-se:

$\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{CH}{C^{\prime }{H}^{\prime }}=\frac{HB}{H^{\prime }{B}^{\prime }}$

Como $CH=h$, $C^{\prime }{H}^{\prime }=h^{\prime }$ e $\frac{a}{a^{\prime }}=k$, pode-se escrever:

$\frac{h}{h^{\prime }}=k$.

Logo a razão entre as medidas das alturas de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança entre os triângulos.

Razão entre as áreas

Se dois triângulos são semelhantes de razão $k$, então a razão entre as áreas é $k^2$.

Assim, seja os triângulos $\mathrm{△}ABC$ e $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, temos:

Imagem para demonstração da razão entre as áreas de triângulos semelhantes

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }⟹\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}=k$

Sendo $h$ a medida da altura relativa ao lado $\overline{AB}$ de $\mathrm{△}ABC$ e $h^{\prime }$ a medida da altura relativa ao lado $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ de $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, temos também que:

$\frac{h}{h^{\prime }}=k$.

Observe também que $\overline{AB}=c$ e $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=c^{\prime }$.

Então, é possível calcular a razão entre a área dos triângulos:

$\frac{A_{ABC}}{A_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{\frac{c.h}{2}}{\frac{c^{\prime }.h^{\prime }}{2}}=\frac{c.h}{2}.\frac{2}{c^{\prime }.h^{\prime }}=\frac{c}{c^{\prime }}.\frac{h}{h^{\prime }}=k.k=k^2$

Logo a razão entre as medidas das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os triângulos.