Série de Liouville-Neumann

Predefinição:Sem fontes Em matemática, uma série de Liouville-Neumann é uma série infinita que corresponde à técnica do formalismo resolvente para solução de equações integrais de Fredholm na teoria de Fredholm.

Definição

Uma série de Liouville-Neumann é definida por

$\varphi \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{\varphi }_n\left(x\right)$,

que é a única solução contínua de uma equação integral de Fredholm do segundo tipo

$f(t)=\varphi (t)-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\varphi (s)ds$.

Se o núcleo iterado de ordem n é definido por

$K_n(x,z)=\int \int \cdots \int K(x,y_1)K(y_1,y_2)\cdots K(y_{n-1},z)d{y}_{1}d{y}_2\cdots d{y}_{n-1}$

então

${\varphi }_n\left(x\right)=\int K_n(x,z)f\left(z\right)dz$.

O núcleo resolvente é dado por

$K(x,z;\lambda )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{K}_{n+1}(x,z)$.

A solução da equação integral é:

$\varphi \left(x\right)=\int K(x,z;\lambda )f\left(z\right)dz$.

Métodos similares podem ser usados para resolver equações integrais de Volterra.