Símbolo de Kronecker

Em teoria dos números, o símbolo de Kronecker^[1], escrito como $(\frac{a}{n})$ ou (a|n), é uma generalização do símbolo de Jacobi para todos os inteiros n. Foi introduzido por Leopold Kronecker.

Definição

Seja n um número inteiro não-nulo, com fatoração em números primos

u \cdot {p_{1}}^{e_{1}} \dots {p_{k}}^{e_{k}},

onde u é uma unidade (i.e., u é 1 ou −1), e os p_i são números primos. Seja a um inteiro. O símbolo de Kronecker (a|n) é definido como:

(\frac{a}{n}) = (\frac{a}{u}) \prod_{i = 1}^{k} {(\frac{a}{p_{i}})}^{e_{i}} .

Para números ímpares p_i, o (a|p_i) reduz-se simplesmente ao símbolo de Legendre. Mantendo o caso em que p_i = 2. Define-se (a|2) por

(\frac{a}{2}) = {\begin{matrix} 0 & se a é par, \\ 1 & se a \equiv \pm 1 (\mod 8), \\ - 1 & se a \equiv \pm 3 (\mod 8) . \end{matrix}

Como este estende o símbolo de Jacobi, a quantidade (a|u) é simplesmente 1 quando u = 1. Quando u = −1, é definido por

(\frac{a}{- 1}) = {\begin{matrix} - 1 & se a < 0, \\ 1 & se a \geq 0 . \end{matrix}

Finalmente, teremos que

(\frac{a}{0}) = {\begin{matrix} 1 & se a = \pm 1, \\ 0 & em outro caso. \end{matrix}

Estas extensões são suficientes para definir o símbolo de Kronecker para todos os inteiros n.