Símbolos 3-j de Wigner

Na mecânica quântica, os símbolos 3-j de Wigner, também chamados de símbolos 3-jm, são uma alternativa aos coeficientes de Clebsch-Gordan^[1] com a finalidade de adicionar momentos angulares.^[2] Enquanto as duas propostas abordam exatamente o mesmo problema físico, os símbolos 3-j são mais simétricos e, portanto, têm propriedades de simetria maiores e mais simples que os coeficientes de Clebsch-Gordan.

Relação matemática com o coeficiente de Clebsch-Gordan

Os símbolos 3-j são dados em termos dos coeficientes Clebsch-Gordan por

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \equiv \frac{(- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3} + 1}} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} (- m_{3}) ⟩ .

Os termos j e m são números quânticos de momento angular, isto é, cada Predefinição:Math (e cada Predefinição:Math correspondente) é um número inteiro não negativo ou meio inteiro ímpar (Os meio-inteiros são precisamente números que são metade de um inteiro ímpar). O expoente do fator de sinal é sempre um número inteiro, portanto permanece o mesmo quando transposto para o lado esquerdo, e a relação inversa segue ao fazer a substituição Predefinição:Math:

⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} m_{3} ⟩ = (- 1)^{- j_{1} + j_{2} - m_{3}} \sqrt{2 j_{3} + 1} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix})

.

Propriedades de simetria

Um símbolo de 3-j é invariante sob uma permutação uniforme de suas colunas:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{2} & j_{3} & j_{1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{3} & j_{1} & j_{2} \\ m_{3} & m_{1} & m_{2} \end{matrix}) .

Uma permutação ímpar das colunas dá um fator de fase:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ m_{2} & m_{1} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ m_{1} & m_{3} & m_{2} \end{matrix}) .

Alterando o sinal dos números $m$ quânticos (inversão de tempo^[3]) também dá uma fase:

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) .

Os símbolos 3-j também têm as chamadas simetrias de Regge,^[4] que não são devidas a permutações ou reversão de tempo.^[5] Essas simetrias são,

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{1} & \frac{j_{2} + j_{3} - m_{1}}{2} & \frac{j_{2} + j_{3} + m_{1}}{2} \\ j_{3} - j_{2} & \frac{j_{2} - j_{3} - m_{1}}{2} - m_{3} & \frac{j_{2} - j_{3} + m_{1}}{2} + m_{3} \end{matrix}) .

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} \frac{j_{2} + j_{3} + m_{1}}{2} & \frac{j_{1} + j_{3} + m_{2}}{2} & \frac{j_{1} + j_{2} + m_{3}}{2} \\ j_{1} - \frac{j_{2} + j_{3} - m_{1}}{2} & j_{2} - \frac{j_{1} + j_{3} - m_{2}}{2} & j_{3} - \frac{j_{1} + j_{2} - m_{3}}{2} \end{matrix}) .

Com as simetrias Regge, o símbolo 3-j tem um total de 72 simetrias. Estes são melhor apresentadas pela definição de um símbolo Regge^[6] que é uma correspondência um-para-um entre ele e um símbolo 3-j e assume as propriedades de um quadrado semi-mágico.^[7]

R = \begin{matrix} - j_{1} + j_{2} + j_{3} & j_{1} - j_{2} + j_{3} & j_{1} + j_{2} - j_{3} \\ j_{1} - m_{1} & j_{2} - m_{2} & j_{3} - m_{3} \\ j_{1} + m_{1} & j_{2} + m_{2} & j_{3} + m_{3} \end{matrix}

Predefinição:Referências

Predefinição:Esboço-física

Predefinição:Portal3 Predefinição:Física-rodapé

↑ Investigação da eficiência quântica de luminescência pela teoria de Judd-Ofelt: Aplicação aos vidros Aluminosilicato de Cálcio dopados com Érbio. por Leandro de Santana Costa pp. 75-76 (2014)
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar periódico
↑ Regge symmetry and partition of Wigner 3-j or super 3-jS symbols: unknown properties por Lionel Bréhamet arXiv:1506.03312 (2015)
↑ Predefinição:Citar periódico
↑ Regge and Okamoto Symmetries por Philip P. Boalch (DOI) 10.1007/s00220-007-0328-x Commun. Math. Phys. 276, 117–130 (2007)
↑ Predefinição:Citar periódico

[1] Investigação da eficiência quântica de luminescência pela teoria de Judd-Ofelt: Aplicação aos vidros Aluminosilicato de Cálcio dopados com Érbio. por Leandro de Santana Costa pp. 75-76 (2014)

[Wigner1951-2] Predefinição:Citar livro

[non-time-3] Predefinição:Citar periódico

[4] Regge symmetry and partition of Wigner 3-j or super 3-jS symbols: unknown properties por Lionel Bréhamet arXiv:1506.03312 (2015)

[5] Predefinição:Citar periódico

[6] Regge and Okamoto Symmetries por Philip P. Boalch (DOI) 10.1007/s00220-007-0328-x Commun. Math. Phys. 276, 117–130 (2007)

[7] Predefinição:Citar periódico

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

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