Teorema da comparação de Rauch

Predefinição:Sem notas Em geometria riemanniana, o Teorema da Comparação de Rauch, provado em 1951 por Harry Rauch, é um resultado fundamental que relaciona a curvatura seccional de uma variedade riemanniana com a taxa com a qual suas geodésicas se afastam. Intuitivamente, ele diz que para maiores curvaturas as geodésicas se afastam menos, enquanto para curvaturas menores elas se afastam mais, e no caso de curvaturas negativas nunca vão se encontrar. Essa visão é traduzida via Campos de Jacobi e pontos conjugados, comparando com os espaço-forma R^n, H^n e S^n, onde esses campos são bem conhecidos.

Enunciado do Teorema

Sejam $M$, $\tilde{M}$ variedades riemannianas e sejam $\gamma :[0,T]\to M$ e $\tilde{\gamma }:[0,T]\to \tilde{M}$ segmentos geodésicos parametrizados pelo comprimento de arco tais que $\tilde{\gamma }(0)$ não tem pontos conjugados ao longo de $\tilde{\gamma }$. Sejam ainda $J$, $\tilde{J}$ campos de Jacobi normais respectivamente ao longo de $\gamma$ e $\tilde{\gamma }$ tais que $J(0)=\tilde{J}(0)=0$ e $|D_{t}J(0)|=|{\tilde{D}}_t\tilde{J}(0)|$. Suponha adicionalmente que as curvaturas seccionais de $M$ e $\tilde{M}$ satisfazem $K(\mathrm{\Pi })\le \tilde{K}(\tilde{\mathrm{\Pi }})$ sempre que $\mathrm{\Pi }\subset T_{\gamma (t)}M$ é um plano contendo $\dot{\gamma }(t)$ e $\tilde{\mathrm{\Pi }}\subset T_{\tilde{\gamma }(t)}\tilde{M}$ é um plano contendo $\dot{\tilde{\gamma }}(t)$. Então $|J(t)|\ge |\tilde{J}(t)|$ para todo $t\in [0,T]$.

Referências

• do Carmo, M.P. Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992.
• Lee, J. M., Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997.