Teorema do índice de Atiyah-Singer

Predefinição:Mais notas Na geometria diferencial, o teorema do índice de Atiyah-Singer afirma que para um operador diferencial elíptico sobre uma variedade compacta, o índice analítico (relacionado com a dimensão do espaço de soluções) é igual ao índice topológico (definida em termos de alguns dados topológicos). Ele inclui muitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e tem aplicações em física teórica.

Foi provado por Michael Atiyah e Isadore Singer em 1963.

Índice analítico

Quando devidamente estendido a um espaço de Sobolev, todo operador diferencial elíptico $D$ pode ser visto como um operador de Fredholm- ou seja, um operador contínuo com núcleo e conúcleo de dimensão finita. Assim, os espaços vetoriais $\ker (D)$ e $\mathrm{coker}(D)=\ker (D^{*})$ têm dimensão finita, e portanto podemos calcular o índice analítico do operador:

$\mathrm{Ind}(D)=\dim \ker (D)-\dim \mathrm{coker}(D)$

que é um invariante topológico de operadores de Fredholm entre espaços de Hilbert (isto é, dois operadores do tipo são homotópicos em $B(H)$ exatamente quando têm mesmo índice).

Índice topológico

Usando invariantes topológicas conhecidas como classes características, é possível associar a um operador elíptico $D$ o seu índice topológico, igual à expressão

$(-1{)}^n\mathrm{ch}(D)\mathrm{Td}(TX\otimes ℂ)[T^{*}X]=(-1{)}^n\underset{T^{*}X}{\int }\mathrm{ch}(D)\mathrm{Td}(TX\otimes ℂ)$

onde

• $\mathrm{Td}(TX\otimes ℂ)$ é a classe de Todd do fibrado tangente complexificado;
• $\mathrm{ch}(D)$ é igual a $\mathrm{ch}(d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D)))$, onde
  • $\mathrm{ch}:K(X)\otimes \mathbb{Q}\to H^{*}(X;\mathbb{Q})$ é o caráter de Chern;
  • $d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))$ é o "elemento de diferença" em $K(B(X)/S(X))$ associado aos fibrados $p^{*}E$ e $p^{*}F$ sobre $B(X)=\{(v,x)\in T^{*}X;||v||\le 1,x\in X\}$ e o isomorfismo $\sigma (D)$ entre eles no subespaço $S(X)=\{(v,x)\in T^{*}X;||v||=1,x\in X\}$;
  • $\sigma (D)$ é o símbolo de $D$.

Em algumas situações, é possível simplificar a fórmula acima para fins computacionais. Em particular, se $X$ é uma variedade (compacta) orientável $2m$-dimensional cuja classe de Euler $e(TX)$ é não-nula, então aplicando o isomorfismo de Thom e dividindo pela classe de Euler, o índice topológico pode ser expresso como

$(-1{)}^m\underset{X}{\int }\frac{\mathrm{ch}(E)-\mathrm{ch}(F)}{e(TX)}\mathrm{Td}(X)$

onde a divisão por formas faz sentido na medida em que fazemos o pullback de $e(TX{)}^{-1}$ a partir do espaço classificante $BSO$.

O teorema do índice então afirma que: o índice analítico é igual ao índice topológico.

Exemplos

Teorema de Chern-Gauss-Bonnet

Seja $M$ uma variedade compacta orientável de dimensão $n=2r$. Se ${\mathrm{\Lambda }}^{even}$ representar a soma dos produtos exteriores de grau par do fibrado cotangente, e ${\mathrm{\Lambda }}^{odd}$ a soma dos de grau ímpar, defina $D=d+d^{*}$, considerado como uma aplicação de ${\mathrm{\Lambda }}^{even}$ a ${\mathrm{\Lambda }}^{odd}$. Então o índice analítico de $D$ é a característica de Euler de $\chi (M)$, e o índice analítico é a integral da classe de Euler sobre a variedade. Essa é a versão "topológica" do teorema de Chern-Gauss-Bonnet.

Mais concretamente, segundo uma variação do princípio de divisão, se $E$ é um fibrado vetorial real de dimensão $n=2r$, para provarmos fórmulas envolvendo classes características, é possível supor que existem fibrados de linha complexos $l_1,...l_r$ tais que $E\otimes ℂ=l_1\oplus \overline{l_1}\oplus ...l_r\oplus \overline{l_r}$. Logo, podemos tratar das raízes de Chern $x_i(E\otimes ℂ)=c_1(l_i)$, $x_{r+i}(E\otimes ℂ)=c_1(\overline{l_i})=-x_i(E\otimes ℂ)$, $i=1,...,r$.

Usando raízes de Chern como acima e aplicando as propriedades básicas da classe de Euler, temos que $e(TM)=\prod _i^r{x}_i(TM\otimes ℂ)$. Em relação ao caráter de Chern e à classe de Todd,

$$\begin{array}{cc}\mathrm{ch}({\mathrm{\Lambda }}^{even}-{\mathrm{\Lambda }}^{odd})& =1-\mathrm{ch}(T^{*}M\otimes ℂ)+\mathrm{ch}({\mathrm{\Lambda }}^2{T}^{*}M\otimes ℂ)-...+(-1{)}^n\mathrm{ch}({\mathrm{\Lambda }}^n{T}^{*}M\otimes ℂ)\\ & =1-\sum _i^n{e}^{-x_i}(TM\otimes ℂ)+\sum _{i<j}{e}^{-x_i}{e}^{-x_j}(TM\otimes ℂ)+...+(-1{)}^n{e}^{-x_1}...e^{-x_n}(TM\otimes ℂ)\\ & =\prod _i^n(1-e^{-x_i}(TM\otimes ℂ))\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\mathrm{Td}(TM\otimes ℂ)=\prod _i^n\frac{x_i}{1-e^{-x_i}}(TM\otimes ℂ)\end{array}$$

Aplicando o teorema do índice,

$\chi (M)=(-1{)}^r\underset{M}{\int }\frac{\prod _i^n(1-e^{-x_i})}{\prod _i^r{x}_i}\prod _i^n\frac{x_i}{1-e^{-x_i}}(TM\otimes ℂ)=(-1{)}^r\underset{M}{\int }(-1{)}^r\prod _i^r{x}_i(TM\otimes ℂ)=\underset{M}{\int }e(TM)$,

que é a versão topológica do teorema de Chern-Gauss-Bonnet (a geométrica sendo obtida ao aplicarmos o homomorfismo de Chern-Weil).

Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Seja X uma variedade complexa de dimensão (também complexa) $n$ e V um fibrado vetorial holomórfico sobre X. Se E e F forem as somas dos fibrados de formas diferenciais com coeficientes em V de tipo (0,i) com i par (no caso de E) ou ímpar (no caso de F), consideramos o operador diferencial

$D=\bar{\partial }+\stackrel{*}{\stackrel{‾}{\partial }}$

restrito a E.

Nesse caso, o índice analítico do operador é a característica de Euler holomórfica de V:

$\text{index}(D)=\sum _p(-1{)}^p\text{dim}{H}^p(X,V)=\chi (X,V)$

Como estamos tratando de fibrados que já são compelxos, calcular o índice topológico é mais simples. Usando raízes de Chern e fazendo contas similares às do exemplo anterior, a classe de Euler é dada por $e(TX)=\prod _i^n{x}_i(TX)$ e

$$\mathrm{ch}(\sum _j^n(-1{)}^{j}V\otimes {\mathrm{\Lambda }}^j\overline{T^{*}X})=\mathrm{ch}(V)\prod _j^n(1-e^{x_j})(TX)$$

$$\mathrm{Td}(TX\otimes ℂ)=\mathrm{Td}(TX)\mathrm{Td}(\overline{TX})=\prod _i^n\frac{x_i}{1-e^{-x_i}}\prod _j^n\frac{-x_j}{1-e^{x_j}}(TX)$$

Aplicando o teorema do índice, obtemos o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch:

$\chi (X,V)=\underset{X}{\int }\mathrm{ch}(V)\mathrm{Td}(TX)$

Na verdade, obtemos uma generalização a todas as variedades complexas: a demonstração original de Hirzebruch funcionava somente para variedades projetivas.

Ligações externas

• Rafe Mazzeo: Teorema do índice de Atiyah-Singer: o que é, e porque devemos nos preocupar.
• Raussen, Skau, Entrevista com Atiyah, Singer, Notices AMS 2005.
• R. R. Seeley and other, Notas antigas sobre operadores pseudo-diferenciais e teoria de índices
• A. J. Wassermann, Notas sobre o Teorema do índice de Atiyah-Singer