Trigésima segunda proposição de Euclides

Os ângulos a, b, e c são ângulos internos, o ângulo d é externo

A trigésima segunda proposição de Euclides pode ser dividida duas partes:

• 1ª: A soma de dois ângulos internos de um triângulo é igual ao ângulo externo oposto. (teorema do ângulo externo de um triângulo)
• 2ª: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos (180°). (teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo) Essa proposição é a recíproca do postulado das paralelas.

Demonstração

A demonstração da 32º Proposição de Euclides. Pode ser encontrada no livro Os elementos de Euclides.

Considere um triângulo ABC qualquer.

1. Prolongue o lado BC e marque um ponto D
2. Prolongue AC e marque um ponto F
3. Trace uma paralela de AB que passe por C (podemos fazer isso pela 21º preposição de Euclides) e marque um ponto G acima do segmento AF e outro ponto E abaixo do segmento AF.
4. Como AB é paralela a CE, pela 29º preposição de Euclides, $A\hat{B}C$ = $E\hat{C}D$ e $B\hat{A}C$=$F\hat{C}G$, assim como, $F\hat{C}G$=$E\hat{C}A$, pela 15º preposição de Euclides.
5. Sendo assim, $D\hat{C}A$ = $A\hat{B}C$ + $B\hat{A}C$, somando $B\hat{C}A$, teremos que $A\hat{B}C$ + $C\hat{A}B$ + $B\hat{C}A$ é igual ao um ângulo raso, ou seja 180º.

Ver também

• Os Elementos