Mostrar código-fonte de Área

{{Mais notas|data=junho de 2019}}
[[Imagem:Area.svg|thumb|O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área <math>\frac{9}{4}\pi</math> e o triângulo tem área <math>\frac{9}{2}.</math>]]

'''Área''' é um [[conceito]] [[Matemática|matemático]] que pode ser definida como quantidade de [[espaço matemático|espaço]] bidimensional, ou seja, de [[superfície]].<ref>{{citar web|url=http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/sonia_facco.pdf|titulo=Conceito de área|ultimo=Facco|primeiro=Sonia Regina|publicado=pucsp.br|acessodata=9 de janeiro de 2012}}</ref>

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o [[metro quadrado]] (m²) e os seus [[múltiplos e sub-múltiplos]].<ref>{{Citar web |autor= |url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ |título=Bureau International des Poids et Mesures |língua=en}}</ref> São também muito usadas as medidas agrárias: [[are]], que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo [[hectare]], que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o [[acre (unidade)|acre]] e o [[alqueire]].

Na [[geografia]] e [[cartografia]], o termo "área" corresponde à [[projeção (geometria descritiva)|projeção]] num [[plano (geometria)|plano]] horizontal de uma parte da [[superfície terrestre]]. Assim, a superfície de uma [[montanha]] poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

== Definição formal ==
Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma [[função (matemática)|função]] ''a'' de uma coleção ''M'' de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:
* Para qualquer ''S'' em ''M'', ''a''(''S'') ≥ 0.
* Se ''S'' e ''T'' estão em ''M'' então ''S'' ∪ ''T'' e ''S'' ∩ ''T'' também estão e, além disso, ''a''(''S''∪''T'') = ''a''(''S'') + ''a''(''T'') − ''a''(''S''∩''T'').
* Se ''S'' e ''T'' estão em ''M'' e ''S'' ⊆ ''T'' então ''T'' − ''S'' está em ''M'' e ''a''(''T''−''S'') = ''a''(''T'') − ''a''(''S'').
* Se um conjunto ''S'' está em ''M'' e ''S'' é congruente a ''T'' então ''T'' também está em ''M'' e ''a''(''S'') = ''a''(''T'').
* Todo retângulo ''R'' está em ''M''. Se o retângulo tem largura ''h'' e altura ''k'' então ''a''(''R'') = ''hk''.
* Seja ''Q'' um conjunto limitado entre duas ''regiões com degraus'', ''S'' e ''T''. Uma ''região com degraus'' é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, ''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T''. Se existe um único número ''c'' tal que ''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'') para quaisquer regiões ''step'' ''S'' e ''T'', então ''a''(''Q'') = ''c''.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.<ref>Veja, por exemplo, ''Elementary Geometry from an Advanced Standpoint'' de Edwin Moise.</ref>

== Unidades ==
{{Artigo principal|Unidades de área}}
[[Imagem:SquareMeterQuadrat.JPG|thumb|direita|Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.]]

Cada [[Unidades de comprimento|unidade de comprimento]] tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse [[comprimento]]. Desta forma, as áreas podem ser medidas em [[Metro quadrado|metros quadrados]] (²), [[Centímetro quadrado|centímetros quadrados]] (cm²), [[Milímetro quadrado|milímetros quadrados]] (mm²), [[Quilómetro quadrado|quilómetros quadrados]] (km²), [[Pé quadrado|pés quadrados]] (ft²), [[Jarda quadrada|jardas quadradas]] (yd²), [[Milha quadrada|milhas quadrada]]s (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados  das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma [[Unidades derivadas do Sistema Internacional|unidade derivada de SI]].

=== Conversões ===
[[Imagem:Area conversion - square mm in a square cm.png|thumb|direita|320px|Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².]]
A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como
: 1 [[Pé (unidade)|Pé]] = 12 [[polegada]]s,
é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que
: 1 pé = 144 polegadas quadradas,
sendo 144 = 12²  = 12 × 12. Da forma análoga:
* 1 quilómetro quadrado = 1 [[milhão]] de metros quadrados;
* 1 metro quadrado = [[Dez mil|10 000]] centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
* 1 centímetro quadrado = [[Cem|100]] milímetros quadrados;
* 1 jarda quadrada = [[Nove|9]] pés quadrados;
* 1 milha = {{Fmtn|3097600}} jardas quadradas = {{Fmtn|27878400}} pés quadrados.

=== Outras unidades ===
Existem várias outras unidades usadas para áreas. O [[are]] foi a [[unidade de medida]] original do [[sistema métrico]] para a área:
* 1 are = 100 metros quadrados.
Embora o are tenha caído em desuso, o [[hectare]] ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:
* 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.
Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a [[tétrade]], [[hectade]] e [[miríade]].

O [[acre (unidade)|acre]] também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:
* 1 acre = {{Fmtn|4840}} jardas quadradas = {{Fmtn|43560}} pés quadrados.
Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

== História ==
Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à [[geometria]] e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da [[evolução humana]].

Dentre os principais [[matemático]]s da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se [[Tales de Mileto]] (VI a.C.), na [[Grécia]], importando a geometria utilizada pelos egípcios; [[Pitágoras]], conhecido pelo teorema aplicado ao [[triângulo retângulo]] que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, ''"os Elementos''” de [[Euclides]] trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como [[ponto]], [[reta]] e [[círculo]], como também nos cinco [[postulado]]s. É um sistema [[axioma|axiomático]] que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.

Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na [[Mesopotâmia]] e no [[Egito]], os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.

O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.

Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.

No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da [[circunferência]] e a área do [[círculo]]. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos <math>C = 2 \pi r</math>, onde [[Pi|<math>\pi</math>]] vale aproximadamente <math>3,14</math>.

Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que [[Amósis (escriba)|Amósis]], um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com <math>A = \pi r^2</math>, com <math>\pi</math> valendo aproximadamente <math>3,14</math>.

Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à [[matemática]], [[navegação]] e [[religião]]. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do [[Universo]] ampliava-se velozmente e a [[Escola pitagórica|escola de Pitágoras]] fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como [[esfera|esférica]] ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.<ref>{{citar web|URL=http://www.somatematica.com.br/geometria.php|título=História da Geometria|autor=Só Matemática|data=|publicado=|acessodata=17 de junho de 2015}}</ref>

== Fórmulas de cálculo ==
=== Retângulo ===
[[Imagem:RectangleLengthWidth.svg|thumb|direita|Retângulo com área {{math|''lw''}}.]]

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do [[retângulo]]
Dado um retângulo com base {{math|''l''}} e altura {{math|''w''}}, a sua área é:
: <math>A = l \times w</math>  (área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo {{math|''l''}} o comprimento do seu lado, a sua área é:
: <math>A = l^2</math>  (área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma [[definição]] ou [[axioma]].
Tendo a [[geometria]] sido desenvolvida antes da [[aritmética]], o conceito de área pode ser usado para definir a [[multiplicação]] de [[número real|números reais]].
[[Imagem:ParallelogramArea.svg|thumb|140px|esquerda|Dissecção de um paralelogramo.]]

=== Fórmulas por dissecção ===
A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da [[dissecção (geometria)|dissecção]]. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um [[paralelogramo]] pode ser dividido num [[trapezoide]] e num [[triângulo retângulo]], como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo.
A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:
[[Imagem:TriangleArea.svg|thumb|direita|Dois triângulos iguais.]]

: <math>A = b \times h </math>  (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos [[congruência (geometria)|congruentes]] através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

: <math>A=\frac{b \times h}{2}</math>  (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do [[trapezoide]], do [[losango]] e de outros [[polígono]]s mais complicados.

=== Área de outros polígonos ===
Área do trapézio:
: <math>A = \frac{B + b}{2} \times h</math> (B = base maior; b = base menor; h = altura)<ref name="area_trap">{{citar web|url=http://www.colegioweb.com.br/matematica/Area-do-trapezio.html|titulo=Área do trapézio|publicado=colegioweb.com.br|acessodata=09/01/2012}}</ref>

Área do losango:
: <math>A = \frac{D \times d}{2}</math> (D = [[Diagonal de um polígono|diagonal]] maior; d = diagonal menor)<ref name="areas">{{citar web|url=http://www.colegioweb.com.br/matematica/Area-do-trapezio.html|titulo=Cálculo de área|publicado=matematicadidatica.com.br|acessodata=09/01/2012}}</ref>

Área de qualquer [[polígono regular]]:
: <math>\frac{P \times a}{2}</math> (P = [[perímetro]]; a = comprimento do [[apótema]]){{cf|data=julho de 2022}}

=== Círculo ===
[[Imagem:CircleArea.svg|thumb|180px|esquerda|Círculo dividido em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.]]

A área de um [[círculo]] também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com [[raio (geometria)|raio]] <math>r</math> é possível dividi-lo em [[Setor circular|setores]]. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é <math>r</math> e a largura é metade da [[circunferência]] do círculo, ou seja, <math>\pi r.</math> Resulta que a área do círculo é <math>r \times \pi r,</math> ou seja, <math>\pi r^2</math>

<math>A = \pi \times r^2</math> (área do círculo; r = raio)<ref>{{citation|primeiro =Petr|último =Beckmann|título=[[A History of Pi]]|publicado=[[Barnes & Noble]] publicado por acordo com St. Martin's Press|local=New York|ano=1993|página=17}}:<br/>"''The area of a circle... is <math>A=</math> <math>\pi r^2</math>''"<br/>("A área de um círculo... é <math>A=</math> <math>\pi r^2</math>")</ref>

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.

O [[limite]] da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente <math>\pi r^2,</math> que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do [[cálculo]]. No passado, o [[método da exaustão]] foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do [[cálculo integral]]. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um [[integral]]:
: <math>A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.</math>

=== Área de uma superfície ===
[[Imagem:Archimedes sphere and cylinder.svg|direita|thumb|180px|Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.]]
A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície.
Por exemplo, a superfície de um [[cilindro]] pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um [[cone]] pode ser cortada e endireitada num [[Setor circular|setor]] de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma [[esfera]] é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com [[curvatura gaussiana]] diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi [[Arquimedes]] na sua obra ''[[Sobre a Esfera e o Cilindro]]''. Provou que a área e [[volume]] da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do [[cálculo]].

Á área de uma esfera com raio <math>r</math> é:
: <math>A = 4 \pi r^2</math>  (área da esfera)

== Lista de fórmulas ==
{| class="wikipedia
|+ Fórmulas comumente usadas para o cálculo da área
! Figura
! Formula
! Variáveis
|-
|[[Triângulo equilátero]]
||<math>\frac{L^2}{4} \sqrt{3}</math>
||<math>L</math> é comprimento de um lado do triângulo.
|-
|[[Triângulo]]
|<math>\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
|<math>p</math> é metade do perímetro, <math>a,</math> <math>b</math> e <math>c</math> é o comprimento de cada um dos lados.
|-
|[[Triângulo]]
|<math>\tfrac12 a b \mathrm{sen}\,(C)</math>
|<math>a</math> e <math>b</math> são quaisquer dois lados, e <math>C</math> é o ângulo entre eles.
|-
|[[Triângulo]]
|<math>\tfrac12bh</math>
|<math>b</math> e <math>h</math> são a [[Base (geometria)|base]] e [[Altura (geometria)|altura]] (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
|-
|[[Quadrado]]
|<math>l^2</math>
|<math>l</math> é o comprimento de um dos lados do quadrado.
|-
|[[Retângulo]]
|<math>ab</math>
|<math>a</math> e <math>b</math> são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
|-
|[[Losango]]
|<math>\tfrac12ab</math>
|<math>a</math> e <math>b</math> são o comprimento de cada uma das [[Diagonal de um polígono|diagonais]] do losango.
|-
|[[Paralelogramo]]
|<math>bh</math>
|<math>b</math> é o comprimento da base e <math>h</math> é a altura medida na perpendicular.
|-
|[[Trapézio (geometria)|Trapézio]]
|<math>\tfrac12(a+b)h</math>
|<math>a</math> e <math>b</math> são os lados paralelos e <math>h</math> a distância (altura) entre os lados paralelos.
|-
|[[Hexágono]] regular
|<math>\frac{3L^2}{2} \sqrt{3}</math>
|<math>L</math> é o comprimento de um dos lados do hexágono.
|-
|[[Octógono]] regular
|<math>2(1+\sqrt{2})l^2</math>
|<math>l</math> é o comprimento de um dos lados do octógono
|-
|[[Polígono regular]]
|<math>\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)</math>
|<math>l</math> é o comprimento de um dos lados e <math>n</math> o número de lados.
|-
|Polígono regular
|<math>\frac{1}{2}nR^2\cdot \mathrm{sen}\,(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)</math>
|<math>R</math> é o raio do círculo circunscrevente, <math>r</math> o raio do círculo interior, e <math>n</math> é o número de lados.
|-
|Polígono regular
|<math>\tfrac12a p</math>
|<math>a</math> é o [[apótema]] (raio do círculo interior ao polígono) e <math>p</math> é o perímetro do polígono.
|-
|[[Círculo]]
|<math>\pi r^2\ \text{ou}\ \frac{\pi d^2}{4}</math>
|<math>r</math> é o raio e <math>d</math> o [[diâmetro]].
|-
|[[Setor circular]]
|<math>\tfrac12 r^2 \theta</math>
|<math>r</math> e <math>\theta</math> são, respetivamente, o raio e ângulo (em [[radiano]]s).
|-
|[[Elipse]]
|<math>\pi ab</math>
|<math>a</math> e <math>b</math> são o [[semieixo maior]] e [[semieixo menor]], respetivamente.
|-
|Área total da superfície do [[cilindro]]
|<math>2\pi r (r + h)</math>
|<math>r</math> e <math>h</math> são o raio e altura do cilindro.
|-
|Superfície lateral do cilindro
|<math>2 \pi r h</math>
|<math>r</math> e <math>h</math> são o raio e altura do cilindro.
|-
|Superfície total do [[cone]]
|<math>\pi r (r + l)</math>
|<math>r</math> e <math>l</math> são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
|-
|Superfície total da [[esfera]]
|<math>4\pi r^2\ \text{ou}\ \pi d^2</math>
|<math>r</math> e <math>d</math> são o raio e o diâmetro, respetivamente.
|-
|Superfície total da [[pirâmide]]
|<math>B+\frac{P L}{2}</math>
|<math>B</math> é a área da base, <math>P</math> o perímetro da base e <math>L</math> a distância do vértice aos cantos da base.
|}

== Aplicações ==
Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.

=== Notação ===
Usa-se a escrita <math>(ABC...N)</math> para indicar a área de um polígono de <math>N</math> vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.

=== Área de um triângulo ===
==== Critério para equivalência de triângulos ====
===== Propriedade 1 =====
Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.

'''Demonstração''': Dadas duas retas paralelas <math>r</math> e <math>s</math>, a uma distância <math>d</math>, marcamos sobre a reta <math>r</math>, os pontos <math>A</math> e <math>B</math>, e sobre a reta <math>s</math>, marcamos os pontos, <math>C</math> e <math>C^\prime</math>, conforme figura abaixo.

Essa é uma consequência do [[corolário]]: Sejam <math>ABC</math> e <math>ABC^\prime</math> triângulos tais que <math>AB // CC^\prime</math>. Então <math>(ABC) = (ABC^\prime)</math>.<ref>{{citar livro|autor=Antonio Caminha Muniz Neto|título=Coleção PROFMAT - Geometria|editora=SBM|ano=2013|páginas=215|id=}}</ref>

<center>[[Imagem:Triangulo area.png|300px|]]</center>

Analisando as áreas dos triângulos <math>ABC</math> e <math>ABC^\prime</math>, temos que:

<math>(ABC) = AB \cdot \frac{d}{2}</math>

<math>(ABC^\prime) = AB \cdot \frac{d}{2}</math>

Assim, como <math>r // s</math> e a distância de <math>r</math> a <math>s</math> dada por <math>d(r,s) = d</math>, se <math>A</math> e <math>B</math> pertencem a reta <math>r</math> e <math>C</math> pertence a reta <math>s</math>, obtendo um ponto qualquer <math>C^\prime</math> sobre a reta <math>s</math>, temos <math>AB // CC^\prime</math>, portanto os dois triângulos <math>ABC</math> e <math>ABC^\prime</math> possuem a mesma base <math>AB</math> e a mesma altura <math>d</math>, logo suas áreas são iguais.

===== Propriedade 2 =====
Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.

<center>[[Imagem:Razão entre área de triângulos de mesma altura.png|300px|]]</center>

Na triângulo <math>ABC</math>, foi traçada uma [[ceviana]] a partir do vértice <math>A</math> intersectando o lado <math>BC</math> no ponto <math>X</math>, ficando assim determinados dois triângulos: <math>AXB</math> e <math>AXC</math>, de mesma altura <math>AH</math>.

'''Demonstração''': Fazendo a razão entre as áreas temos,

<math>\frac{(AXB)}{(AXC)} = \frac{\frac{1}{2} BX \cdot AX}{\frac{1}{2} CX \cdot AH} = \frac{BX}{CX}</math>

Portanto,

<math>\frac{(AXB)}{(AXC)} = \frac{BX}{CX}</math>

==== Triângulos semelhantes ====
{{Artigo principal|[[Semelhança de triângulos]]}}

Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.

<center>[[Imagem:Semelhança de triângulos.png|500px|]]</center>

Sejam <math>ABC</math> e <math>MNP</math> dois triângulos semelhantes, sendo <math>k</math> a razão de semelhança entre seus lados:

<math>\frac{MP}{AC} = \frac{MN}{AB} = \frac{NP}{BC} = k</math>, então temos <math>\frac{(MNP)}{(ABC)} = k^2</math>

'''Demonstração''': Como <math>NP = k \cdot BC</math> e <math>HM = k \cdot AH</math>, temos pelas áreas dos triângulos:


<math>\frac{(MNP)}{(ABC)} = \frac{\frac{1}{2} NP \cdot AM}{\frac{1}{2} BC \cdot AH} = \frac{k \cdot BC \cdot k \cdot AH}{BC \cdot AH} = k^2</math>

Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança <math>k</math> entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será <math>k^2</math>.

==== A prova do [[teorema de Pitágoras]] e outras [[Triângulo retângulo#Relações trigonométricas do triângulo retângulo|relações métricas no triângulo retângulo]] através do cálculo de áreas ====

Seja <math>ABC</math> um triângulo retângulo no vértice <math>A</math>, onde a hipotenusa <math>BC = a</math>, e seus catetos <math>AB = c</math> e <math>AC = b</math>, considerando ainda a altura relativa à hipotenusa <math>AH = h</math>, bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa <math>BH = m</math> e <math>CH = n</math>, temos:

<center>[[Imagem:Relações métricas no triangulo retangulo.png|300px|]]</center>

Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:
*I. <math>ah = bc</math>
*II. <math>c^2 = am</math> e <math>b^2 = na</math>
*III. <math>a^2 = b^2 + c^2</math>


'''Demonstração I''':

I.a) Calculando a área <math>(ABC)</math> a partir da base <math>BC</math> e altura <math>AH</math>:

<math>(ABC) = \frac{1}{2} BC \cdot AH = \frac{1}{2} a \cdot h</math>

I.b) Calculando a área <math>(ABC)</math> a partir da base <math>AC</math> e altura <math>AB</math>:

<math>(ABC) = \frac{1}{2} AC \cdot AB = \frac{1}{2} b \cdot c</math>

Decorre de I.a) e I.b) temos que <math>(ABC) = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot c</math>.

Logo <math>a \cdot h = b \cdot c</math>


'''Demonstração II''':

II.a) Dado o triângulo <math>ABC</math>, retângulo em <math>A</math>, constrói-se quadrados sobre a hipotenusa <math>BC</math> e os catetos <math>AC</math> e <math>AB</math>, respectivamente de medidas <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>. Depois prolonga-se a altura <math>AH</math> até interceptar o lado <math>FG</math> do quadrado <math>BCGF</math> no ponto <math>I</math>.

<center>[[Imagem:Demonstração do Teorema de Pitágoras por área.png|300px|]]</center>

Observando os segmentos paralelos <math>BG</math> e <math>AI</math>, percebe-se dois triângulos <math>GBA</math> e <math>GBH</math> de mesma área, cujas bases medem <math>a</math> e as alturas medem <math>m</math>.

Assim, <math>(GBA) = (GBH) = \frac{1}{2} BG \cdot BH = \frac{1}{2} a \cdot m</math>

Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos <math>GBA</math> e <math>BDC</math> são congruentes pelo caso LAL, pois <math>BD \equiv BA</math>, <math>BC \equiv BG</math> e <math>\angle CBD \equiv \angle ABC + 90^\circ</math>. Logo, <math>(BDC) = (GBA)</math>. E como os segmentos <math>BD</math> e <math>AC</math> são paralelos temos que <math>(BDA) = (BDC)</math>, visto que a base <math>BD</math> e a altura <math>AB</math> são comuns aos dois triângulos.

Assim: <math>BD = AB = c</math>, então <math>(BDA) = (BDC) = \frac{1}{2} BD \cdot BA = \frac{1}{2}c \cdot c = \frac{c^2}{2}</math>

Daí, <math>(GBA) = (BDC) \Rightarrow \frac{am}{2} = \frac{c^2}{2} \Rightarrow c^2 = am</math>

II.b) De maneira análoga, é provado que <math>b^2 = an</math>

<center>[[Imagem:Demonstração do Teorema de Pitágoras por área 2.png|300px|]]</center>

Como <math>AI // CF</math>, temos nos triângulos <math>ACF</math> e <math>HCF</math> que <math>(ACF) = (HCF)</math>, pois possuem a mesma base <math>CF</math> e mesma altura <math>CH</math>, sendo assim:

<math>(ACF) = (HCF) = \frac{1}{2}CF \cdot CH = \frac{1}{2}</math>

Temos ainda que os triângulos <math>BCJ</math> e <math>ACF</math> são congruentes pelo caso LAL, pois <math>AC \equiv CJ = b</math>; <math>CF \equiv BC = a</math>; <math>\angle ACF \equiv \angle BCJ \equiv \angle ACB + 90^\circ</math>. Então, como <math>AK // CJ</math> temos:

<math>(ACJ) = (BCJ) = \frac{1}{2}AC \cdot CJ = \frac{1}{2}b^2</math>

Portanto, da congruência <math>BCJ</math> e <math>ACF</math>, temos:

<math>(BCJ) = (ACF) \Rightarrow \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}an \Rightarrow b^2 = an</math>


'''Demonstração III''':

De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:

<math>b^2 = an</math> e <math>c^2 = am</math>, logo <math>b^2 + c^2 = an + am \Rightarrow b^2 + c^2 = a(n + m)</math>


Como <math>n + m = a</math>, temos:

<math>b^2 + c^2 = a(n + m) \Rightarrow b^2 + c^2 = a^2</math>  ([[Teorema de Pitágoras]])


Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:

<math>BCJ \equiv ACF</math>, pelo caso LAL, então <math>(BCJ) = (ACF)</math>. Temos também que <math>(ACJ) = (BCJ) = (ACF)</math> e <math>(ACF) = (CHF) = (BCJ)</math>. Daí, <math>(ACJ) = (CHF)</math>.


Logo, <math>(ACJK) = 2(ACJ) = 2(CHF)</math>.

Por outro lado, da demonstração II. b), onde <math>GBA \equiv BDC</math>, pelo caso LAL, então <math>(GBA) = (BDC)</math>. Temos ainda que <math>(ABD) = (BDC) = (ABG)</math> e <math>(ABG) = (BHG) = (BDC)</math>. Daí, <math>(ABD) = (BHG)</math>.


Logo, <math>(ABDE) = 2(ABD) = 2(BHG)</math>.

Portanto, analisando a área do quadrado <math>BCGF</math> de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:


<math>(BCFG) =(CHIF) + (BHGI)</math>


<math>(BCFG) = 2(CHF) + 2 (BHG)</math>


<math>(BCFG) = (ACJK) + (ABDE)</math>


Concluindo, <math>(BCFG) = a^2</math>, <math>(ACJK) = b^2</math> e <math>(ABDE) = c^2</math>


Então, <math>a^2 = b^2 + c^2</math> (Teorema de Pitágoras)

=== Área de um trapézio ===
No trapézio <math>ABCD</math> de altura <math>h</math>, temos os lados paralelos <math>AB</math> e <math>DC</math>, tal que
<math>AB = a</math> e <math>DC = b</math>.

<center>[[Imagem:Área do trapézio.png|300px|]]</center>

'''Demonstração''': Vamos supor, sem perda de generalidade, que <math>AB > DC</math>, e traçar pelo vértice <math>B</math> um segmento paralelo ao lado <math>AD</math> de forma que intercepte o lado <math>DC</math> no ponto <math>E</math>.
Assim, como <math>AB // DC</math> e <math>AD // BE</math>, temos o paralelogramo <math>ABED</math> de altura <math>h</math> e base <math>DE = AB = a</math>, e temos ainda um triângulo <math>BCE</math> de base <math>EC = DC - DE = b - a</math>, e altura <math>h</math>.

Note que:

<math>(ABCD) = (ABED) + (BCE) = a \cdot h + \frac{1}{2} (b - a) h = \frac{2ah + bh - ah}{2}</math>

Portanto,

<math>(ABCD) = \frac{(a + b)h}{2}</math>

=== Área de um losango ===
De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então <math>(ABCD) = \frac{1}{2} ABCD</math>.<ref>{{citar livro|autor=Antonio Caminha Muniz Neto|título=Coleção PROFMAT - Geometria|editora=SBM|ano=2013|páginas=219|id=}}</ref>

'''Demonstração''': Dado o losango <math>ABCD</math>, cujas diagonais interceptam-se no ponto <math>M</math>, simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais <math>AC</math> e <math>BD</math>.

<center>[[Imagem:Losango área.png |300px|]]</center>

Como <math>AB = BC = CD = DA</math>, os triângulos determinados pelas diagonais <math>AC</math> e <math>BD</math>, são [[isósceles]] e como <math>M</math> é ponto médio destas diagonais, temos que, <math>AM = MC</math>, <math>BM = MD</math>, portanto os triângulos <math>ABD</math> e <math>BCD</math> são [[Congruência|congruentes]] pelo caso LAL, assim como os triângulos <math>ADC</math> e <math>ABC</math>, pelo mesmo caso.

Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal <math>BD</math>.

<math>(ABCD) = (ABD) + (BCD) = \frac{1}{2} BD \cdot MC + \frac{1}{2} BD \cdot AM</math>

<math>(ABCD) = \frac{1}{2} BD \cdot (AM + MC)</math>.

Como <math>AM + MC = AC</math>, temos:

<math>(ABCD) = \frac{1}{2} AC \cdot BD</math>

== Ver também ==
* [[Unidades de área]]
* [[Volume]]
* [[Comprimento da circunferência]]

{{Referências}}

== Ligações externas ==
{{Commonscat|Area}}
[http://www.wikiunits.com/en/area/_area.php WikiUnits - Converter Área entre diferentes unidades]

[[Categoria:Área| ]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]