Mostrar código-fonte de Ação de Polyakov

{{String-theory|cTopic=Conceitos}}
Em [[física]], a '''ação de Polyakov''' é a [[Ação (física)|ação]] bidimensional de uma teoria conforme de campos (CFT en inglés)<ref>A. A. Belavin, Alexander M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov. Inﬁnite conformal symmetry in two-dimensional quantum ﬁeld theory. Nucl. Phys., B241:333–380, 1984</ref> descrevendo a variedade{{nota de rodapé|''Variedade'' é uma generalização da ideia de superfície. Existem vários tipos de variedades, de acordo com as propriedades que possuem. As mais usuais são as variedades topológicas e as variedades diferenciáveis.}} bidimensional<ref>Especificamente, ocorre em duas dimensões espaciais e uma dimensão temporal. </ref> que descreve a incorporação de uma corda no espaço-tempo na [[teoria das cordas]]. <ref>Alexander M. Polyakov. Quantum geometry of bosonic strings. Phys. Lett., B103, 1981.</ref>  <ref>A. M. Polyakov. String theory and quark conﬁnement. Nucl. Phys. Proc. Suppl.,68:1–8, 1998</ref> <ref>A. M. Polyakov and V. Rychkov. Gauge ﬁelds - strings duality and the loop equation. Nucl. Phys., B581:116–134, 200</ref>
[[Imagem:Surface d'univers.PNG|esquerda|thumb|200px|Uma parte da superfície de um universo de corda aberta]]
Esta ação foi introduzida por [[Stanley Deser]] e [[Bruno Zumino]] <ref>S. Deser and B. Zumino: A complete action for the spinning string. Physics Letters B65 (1976) 369</ref> e, independentemente, por L.Brink, Vecchia P.Di e PSHowe, <ref>L. Brink, P. Di Vecchia and P.S. Howe: A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string. Physics Letters B65 (1976) 471.</ref> e passou a ser associada com [[Alexander Polyakov]] depois que ele fez uso dela na quantificação da corda.<ref>''[http://galia.fc.uaslp.mx/~jvallejo/FWGP08vallejo.pdf Harmonicity in supermanifolds and sigma models]'' por J. Muñoz-Masqué e J. A. Vallejo</ref>

A ação lê

:<math>\mathcal{S} = {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma  \sqrt{-h} h^{ab} g_{\mu \nu} (X) \partial_a X^\mu (\sigma) \partial_b X^\nu(\sigma)</math>

onde <math> T </math> é a tensão da corda, <math>g_{\mu \nu}</math> é a métrica da [[Modelo sigma não-linear|variedade alvo]]{{nota de rodapé|Um modelo σ não-linear descreve um [[campo escalar]] Σ que leva valores de uma variedade não-linear chamada de variedade alvo}}, <math>h_{ab}</math> é a [[Ação Nambu-Goto#Folha de universo|folha de universo]] métrica e <math>h</math> é o determinante de <math>{ab}</math>. A [[assinatura métrica]] é escolhido de tal modo que direções similares ao tempo são + e direções como espaço são -. A coordenada de folha de universo tipo espacial é chamada  <math> \sigma </math> ao passo que a coordenada de folha de universo tipo tempo é chamada <math> \tau </math>. Esta variedade é também conhecida como modelo σ não-linear.<ref name="Frie80"> {{citar periódico|último =Friedan|primeiro =D.|autorlink =Daniel Friedan|título=Nonlinear Models in 2+ε Dimensions|periódico=[[Physical Review Letters]]|volume=45|número=|páginas=1057|publicado=|local=|ano=1980|url=http://www.physics.rutgers.edu/~friedan/papers/PRL_45_1980_1057.pdf|doi=10.1103/PhysRevLett.45.1057|id=|acessodata=|bibcode=1980PhRvL..45.1057F}}</ref>

A ação de Polyakov deve ser completada pela [[Joseph Liouville|ação de Liouville]] na [[teoria de campo de Liouville]] para descrever adequadamente as flutuações de cordas.
==Relação com a ação Nambu-Goto==
Escrevendo a [[equação de Euler-Lagrange]] para o [[tensor métrico]] <math> h^{ab} </math> se obtém que:

::<math> \frac{\delta S}{\delta h^{ab}} = T_{ab} = 0 </math>
Sabendo também que:
::<math> \delta \sqrt{-h} = -\frac12 \sqrt{-h} h_{ab} \delta h^{ab} </math>
Pode-se escrever o derivativo variacional da ação:
::<math> \frac{\delta S}{\delta h^{ab}} = \frac{T}{2} \sqrt{-h} \left( G_{ab} - \frac12 h_{ab} h^{cd} G_{cd} \right) </math>
onde <math> G_{ab} = g_{\mu \nu} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu </math> o que leva a:
::<math> T_{ab} = T \left( G_{ab} - \frac12 h_{ab} h^{cd} G_{cd} \right) = 0 </math>
::<math> G_{ab} = \frac12 h_{ab} h^{cd} G_{cd} </math>
::<math> G = \mathrm{det} \left( G_{ab} \right) = \frac14 h \left( h^{cd} G_{cd} \right)^2 </math>

Se o tensor métrico auxiliar da [[Ação Nambu-Goto#folha de universo|folha de universo]] <math>\sqrt{-h}</math> é calculado a partir das equações de movimento:
::<math> \sqrt{-h} = \frac{2 \sqrt{-G}}{h^{cd} G_{cd}} </math>

e substituído de volta à ação, ele se torna a [[ação Nambu-Goto]]:
::<math> S = {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma  \sqrt{-h} h^{ab} G_{ab} = {T \over 2}\int \mathrm{d}^2 \sigma \frac{2 \sqrt{-G}}{h^{cd} G_{cd}} h^{ab} G_{ab} = T \int \mathrm{d}^2 \sigma \sqrt{-G}</math>

No entanto, a ação de Polyakov é mais facilmente [[Quantização (física)|quantificada]] porque é [[Linearidade|linear]].

{{notas}}
{{Referências}}

{{Esboço-física}}
{{Portal3|Física}}

[[Categoria:Teoria das cordas]]
[[Categoria:Física teórica]]