Ação de Polyakov

Predefinição:String-theory Em física, a ação de Polyakov é a ação bidimensional de uma teoria conforme de campos (CFT en inglés) descrevendo a variedadePredefinição:Nota de rodapé bidimensional que descreve a incorporação de uma corda no espaço-tempo na teoria das cordas.

Uma parte da superfície de um universo de corda aberta

Esta ação foi introduzida por Stanley Deser e Bruno Zumino e, independentemente, por L.Brink, Vecchia P.Di e PSHowe, e passou a ser associada com Alexander Polyakov depois que ele fez uso dela na quantificação da corda.

A ação lê

$𝒮=\frac{T}{2}\int {\mathrm{d}}^2\sigma \sqrt{-h}{h}^{ab}{g}_{\mu \nu }(X){\partial }_a{X}^{\mu }(\sigma ){\partial }_b{X}^{\nu }(\sigma )$

onde $T$ é a tensão da corda, $g_{\mu \nu }$ é a métrica da variedade alvoPredefinição:Nota de rodapé, $h_{ab}$ é a folha de universo métrica e $h$ é o determinante de $ab$. A assinatura métrica é escolhido de tal modo que direções similares ao tempo são + e direções como espaço são -. A coordenada de folha de universo tipo espacial é chamada $\sigma$ ao passo que a coordenada de folha de universo tipo tempo é chamada $\tau$. Esta variedade é também conhecida como modelo σ não-linear.

A ação de Polyakov deve ser completada pela ação de Liouville na teoria de campo de Liouville para descrever adequadamente as flutuações de cordas.

Relação com a ação Nambu-Goto

Escrevendo a equação de Euler-Lagrange para o tensor métrico $h^{ab}$ se obtém que:

$\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}=T_{ab}=0$

Sabendo também que:

$\delta \sqrt{-h}=-\frac{1}{2}\sqrt{-h}{h}_{ab}\delta h^{ab}$

Pode-se escrever o derivativo variacional da ação:

$\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}=\frac{T}{2}\sqrt{-h}(G_{ab}-\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{G}_{cd})$

onde $G_{ab}=g_{\mu \nu }{\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}^{\nu }$ o que leva a:

$T_{ab}=T(G_{ab}-\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{G}_{cd})=0$

$G_{ab}=\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{G}_{cd}$

$G=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(G_{ab}\right)=\frac{1}{4}h{\left(h^{cd}{G}_{cd}\right)}^2$

Se o tensor métrico auxiliar da folha de universo $\sqrt{-h}$ é calculado a partir das equações de movimento:

$\sqrt{-h}=\frac{2\sqrt{-G}}{h^{cd}{G}_{cd}}$

e substituído de volta à ação, ele se torna a ação Nambu-Goto:

$S=\frac{T}{2}\int {\mathrm{d}}^2\sigma \sqrt{-h}{h}^{ab}{G}_{ab}=\frac{T}{2}\int {\mathrm{d}}^2\sigma \frac{2\sqrt{-G}}{h^{cd}{G}_{cd}}{h}^{ab}{G}_{ab}=T\int {\mathrm{d}}^2\sigma \sqrt{-G}$

No entanto, a ação de Polyakov é mais facilmente quantificada porque é linear.