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{{Título em itálico}}
'''''A Treatise on the Circle and the Sphere''''' é um livro de matemática sobre [[círculo]]s, [[esfera]]s e geometria inversa. Foi escrito por [[Julian Coolidge]] e publicado pela [[Oxford University Press|Clarendon Press]] em 1916.{{Referências múltiplas|bieberbach|hph|emch|white}} A [[Chelsea Publishing Company]] publicou uma reimpressão corrigida em 1971,{{Referências múltiplas|mr71|peak}} e depois que a ''[[American Mathematical Society]]'' adquiriu a Chelsea Publishing o livro foi impresso novamente em 1997.{{Referências múltiplas|steinke}}

==Tópicos==
Como é atualmente padrão na geometria inversiva, o livro estende o [[Plano (geometria)|plano euclidiano]] a sua compactificação a um ponto, e considera linhas euclidianas  como caso degenerado de círculos, passando através do [[ponto impróprio]]. Identifica todo círculo como a inversão dele próprio, e estuda inversões de círculos como um [[Grupo (matemática)|grupo]], o grupo de [[Transformação de Möbius|transformações de Möbius]] do plano estendido. Outra ferramenta chave usada no livro são as "coordenadas tetracíclicas" de um círculo, quádruplas dos números complexos <math>a, b, c, d</math> descrevendo o círculo em um [[plano complexo]] como as soluções da equação <math>az\bar z+bz+c\bar z+d=0</math>. Aplica métodos similares em três dimensões para identificar esferas (e planos como esferas degeneradas) com a inversão através delas, e para atribuir coordenadas a esferas mediante "coordenadas pentacíclicas".{{Referências múltiplas|steinke}}

== Outros tópicos ==
Outros tópicos descritos no livro incluem:
*[[Círculos tangentes]]{{Referências múltiplas|hph|emch}} e [[círculo de Apolônio]]{{Referências múltiplas|emch}}
*[[Corrente de Steiner|Correntes de Steiner]], anéis de círculos tangentes e dois dados círculos{{Referências múltiplas|white}}
*[[Teorema de Ptolomeu]] sobre os lados ee diagonais de quadriláteros inscritos em círculos{{Referências múltiplas|white}}
*Geometria do triângulo, e círculos associados com triângulos, incluindo o [[círculo de nove pontos]], o [[círculo de Brocard]] e o [[hexágono de Lemoine|círculo de Lemoine]]{{Referências múltiplas|bieberbach|hph|emch}}
*O [[Problema de Apolónio|Problema de Apolônio]] sobre a construção de um círculo tangente a três dados círculos, e o [[Círculos de Malfatti|problema de Malfatti]] sobre a construção de três círculos mutuamente tangentes, cada um tangente a um dado triângulo{{Referências múltiplas|bieberbach|emch}}
*O trabalho de [[Wilhelm Fiedler]] sobre "ciclografia", construções envolvendo círculos e esferas{{Referências múltiplas|bieberbach|emch}}
*O [[teorema de Mohr–Mascheroni]], que em construções com régua e compasso é possível usar apenas o compasso{{Referências múltiplas|bieberbach}}
*[[Transformações de Laguerre]], análogas às transformações de Möbius para geometria projetiva orientada{{Referências múltiplas|bieberbach|emch}}
*[[Cíclido de Dupin|Cíclidos de Dupin]], formas obtidas de cilindros e toros por inversão{{Referências múltiplas|emch}}

==Referências==
{{reflist|refs=

<ref name=bieberbach>{{citation
|last = Bieberbach | first = Ludwig | author-link = Ludwig Bieberbach
|jfm = 46.0921.02
|journal = Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
|title = Review of ''A Treatise on the Circle and the Sphere'' (1916 edition)}}</ref>

<ref name=emch>{{citation
|last = Emch | first = Arnold | author-link = Arnold Emch
|date = junho de 1917
|doi = 10.1080/00029890.1917.11998325<!-- also doi:10.2307/2973184 redundant with jstor -->
|issue = 6
|journal = The American Mathematical Monthly
|jstor = 2973184
|pages = 276–279
|title = Review of ''A Treatise on the Circle and the Sphere'' (1916 edition)
|volume = 24}}</ref>

<ref name=hph>{{citation
|author = H. P. H.
|date = dezembro de 1916
|doi = 10.2307/3602790
|issue = 126
|journal = The Mathematical Gazette
|jstor = 3602790
|pages = 338–339
|title = Review of ''A Treatise on the Circle and the Sphere'' (1916 edition)
|volume = 8}}</ref>

<ref name=mr71>{{citation
|journal = Mathematical Reviews
|mr = 0389515
|title = Review of ''A Treatise on the Circle and the Sphere'' (1971 reprint)}}</ref>

<ref name=peak>{{citation
|last = Peak | first = Philip
|date = maio de 1974
|issue = 5
|journal = The Mathematics Teacher
|jstor = 27959760
|page = 445
|title = Review of ''A Treatise on the Circle and the Sphere'' (1971 reprint)
|volume = 67}}</ref>

<ref name=steinke>{{citation
|last = Steinke | first = G. F.
|journal = zbMATH
|title = Review of ''A Treatise on the Circle and the Sphere'' (1997 reprint)
|zbl = 0913.51004}}</ref>

<ref name=white>{{citation
|last = White | first = H. S. | authorlink = Henry Seely White
|date = julho de 1919
|doi = 10.1090/s0002-9904-1919-03230-3
|issue = 10
|journal = Bulletin of the American Mathematical Society
|pages = 464–468
|publisher = American Mathematical Society ({AMS})
|title = Circle and sphere geometry (Review of ''A Treatise on the Circle and the Sphere'')
|volume = 25}}</ref>
}}

==Ligações externas==
*[https://archive.org/details/treatiseonthecir033247mbp ''A Treatise on the Circle and the Sphere''] (edição de 1916, em inglês) no [[Internet Archive]]

[[Categoria:Círculos]]
[[Categoria:Livros de matemática]]