Mostrar código-fonte de Adição

{{Ver desambig |prefixo=Se procura|dependência de substâncias químicas|Drogadição}}
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{{Operações Matemáticas}}

'''Adição''' é uma das operações básicas da [[aritmética]].<ref name= basica>{{citar web|url=https://matematicabasica.net/adicao/|título=Adição e Suas Propriedades Fundamentais na Matemática|website=Matemática Básica|data=|acessodata=9 de junho de 2018|publicado=|ultimo=Novaes|primeiro=Jean Carlos}}</ref><ref name= brasilescola>{{citar web|url=https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao.htm|título=Adição|website=Brasil Escola|data=|acessodata=9 de junho de 2018|publicado=|ultimo=Silva|primeiro=Luiz Paulo Moreira}}</ref> Na sua forma mais simples, a adição combina dois [[número]]s em um único número, denominado '''soma''', '''total''' ou '''resultado'''.<ref name= basica/> Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.

Pode também ser uma [[Adição de segmentos|operação geométrica]]: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

== Propriedades ==
=== Comutatividade ===
[[File:AdditionComm01.svg|right|upright=0.5|thumb|4 + 2 = 2 + 4 com blocos]]

A adição é [[comutativa]], o que significa que se pode mudar a ordem dos termos em uma soma e ainda obter o mesmo resultado. Simbolicamente, se ''a'' e ''b'' são dois números quaisquer, então:
:''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''

O fato de que a adição é comutativa é conhecido como a "lei comutativa da adição" ou "propriedade comutativa da adição". Algumas outras [[operações binárias]] também são comutativas, como a multiplicação, mas muitas outras, como a subtração e a divisão, não são.

=== Associatividade ===
[[File:AdditionAsc.svg|left|upright=0.5|thumb|2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 com hastes segmentadas]]

A adição é [[associativa]], o que significa que, ao somar três ou mais números, a forma como os números são agrupados não altera o resultado.

Como exemplo, se a expressão ''a'' + ''b'' + ''c'' deve ser definida para significar (''a'' + ''b'') + ''c'' ou ''a'' + (''b'' + ''c'')? Dado que a adição é associativa, a escolha da definição é irrelevante. Para quaisquer três números ''a'', ''b'' e ''c'', é verdade que {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')}}. Por exemplo, {{nowrap|1=(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)}}.

Quando a adição é usada juntamente com outras operações, a [[ordem das operações]] torna-se importante. Na ordem padrão das operações, a adição tem uma prioridade menor do que [[exponenciação]], [[raízes enésimas]], multiplicação e divisão, mas tem a mesma prioridade que a subtração.<ref>{{cite book |title=Taschenbuch der Mathematik |author-first1=Ilja Nikolaevič<!-- Nikolajewitsch --> |author-last1=Bronstein<!-- 1903–1976 --> |author-first2=Konstantin Adolfovič<!-- Adolfowitsch --> |author-last2=Semendjajew<!-- 1908–1988 --> |editor1-first=Günter |editor1-last=Grosche |editor2-first=Viktor |editor2-last=Ziegler<!-- 1922–1980--> |editor3-first=Dorothea |editor3-last=Ziegler |others=Weiß, Jürgen<!-- lector --> |translator-first=Viktor |translator-last=Ziegler |volume=1 |date=1987 |edition=23 |orig-year=1945 |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] (and [[B.G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) |location=Thun and Frankfurt am Main |language=de |chapter=2.4.1.1. |pages=115–120 |isbn=978-3-87144-492-0 |title-link=Bronstein and Semendjajew}}</ref>

=== Elemento identidade ===
[[File:AdditionZero.svg|right|upright=0.33|thumb|5 + 0 = 5 com conjuntos de pontos]]
Adicionar [[0 (número)|zero]] a qualquer número não muda o número; isso significa que zero é o [[elemento identidade]] para a adição e também é conhecido como a [[identidade aditiva]]. Em símbolos, para todo {{math|''a''}}, temos:
: {{math|1=''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''}}.

Esta lei foi identificada pela primeira vez na obra de [[Brahmagupta]] ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' em 628 d.C., embora ele a tenha escrito como três leis separadas, dependendo se ''a'' é negativo, positivo ou zero, utilizando palavras em vez de símbolos algébricos. Mais tarde, [[matemáticos indianos]] refinaram o conceito; por volta do ano 830, [[Mahavira (matemático)|Mahavira]] escreveu: "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondendo à afirmação unária {{math|1=0 + ''a'' = ''a''}}. No século XII, [[Bhāskara II|Bhaskara]] escreveu: "Na adição de zero, ou subtração dele, a quantidade, positiva ou negativa, permanece a mesma", correspondendo à afirmação unária {{math|1=''a'' + 0 = ''a''}}.<ref>Kaplan pp. 69–71</ref>

=== Sucessor ===
No contexto dos números inteiros, a adição de [[1 (número)|um]] também desempenha um papel especial: para qualquer inteiro ''a'', o inteiro {{nowrap|(''a'' + 1)}} é o menor inteiro maior que ''a'', também conhecido como o [[sucessor|sucessor]] de ''a''.<ref>Hempel, C.G. (2001). A filosofia de Carl G. Hempel: estudos em ciência, explicação e racionalidade. p. 7</ref> Por exemplo, 3 é o sucessor de 2 e 7 é o sucessor de 6. Devido a essa sucessão, o valor de {{nowrap|''a'' + ''b''}} também pode ser visto como o ''b''-ésimo sucessor de ''a'', tornando a adição uma sucessão iterada. Por exemplo, {{nowrap|6 + 2}} é 8, porque 8 é o sucessor de 7, que é o sucessor de 6, tornando 8 o 2º sucessor de 6.

=== Unidades ===
Para somar numericamente quantidades físicas com [[unidades de medida|unidades]], elas devem ser expressas com unidades comuns.<ref>R. Fierro (2012) ''Mathematics for Elementary School Teachers''. Cengage Learning. Sec 2.3</ref> Por exemplo, adicionar 50 mililitros a 150 mililitros resulta em 200 mililitros. No entanto, se uma medida de 5 pés for estendida por 2 polegadas, a soma é 62 polegadas, uma vez que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, geralmente não faz sentido tentar somar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparáveis; esse tipo de consideração é fundamental na [[análise dimensional]].<ref>{{Cite book|last1=Moebs|first1=William|url=https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-4-dimensional-analysis|title=University Physics Volume 1|last2=Ling|first2=Samuel J.|publisher=[[OpenStax]]|year=2022|isbn=978-1-947172-20-3|chapter=1.4 Dimensional Analysis|display-authors=1}}</ref>

== Notação ==
[[Ficheiro:PlusCM128.svg|alt=|miniaturadaimagem|120x120px|Símbolo matemático da soma.]]
Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal ''[[Sinal de mais e menos|mais]]'', ou ''chus'' (em português arcaico) ("+").  Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os [[números naturais]] de  1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo '''símbolo de [[somatório]]''', que é a letra grega [[Σ|Sigma]] maiúscula. Isso é definido como:
: <math> \sum_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} + x_{m+1} + x_{m+2} + \dots + x_{n-1} + x_{n}. </math>
O subscrito ''i'' fornece o símbolo para uma [[variável]], ''i''. Aqui, ''i'' representa o '''índice do somatório'''; ''m'' é o '''limite inferior do somatório''', e ''n'' é o '''limite superior do somatório'''. Assim, por exemplo:
: <math> \sum_{k=1}^{5} k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.</math>

Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de '''[[Série infinita|séries infinitas]]'''. A diferença na notação seria o uso do símbolo de [[infinito]] (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o [[limite]] da soma dos ''n'' primeiros termos quando ''n'' cresce sem limites. Isto é:
: <math> \sum_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \sum_{i=m}^{n} x_{i}.</math>
Podemos substituir de forma similar ''m'' por infinito negativo, e
:<math>\sum_{i=-\infty}^\infty x_i := \lim_{n\to\infty}\sum_{i=-n}^m x_i + \lim_{n\to\infty}\sum_{i=m+1}^n x_i,</math>
para algum ''m'', desde que ambos os limites existam.

== Relações com outras operações e constantes ==
É possível somar menos que 2 números:
* Se você somar o termo único ''x'', então a soma é ''x'';
* Se você somar zero termos, então a soma é [[zero]], porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como [[soma vazia]].

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se ''m'' = ''n'' na definição acima, então há apenas um termo na soma; se ''m'' = ''n'' + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único ''x'' aparece numa soma ''n'' vezes, então a soma é ''nx'', o resultado de uma [[multiplicação]]. Se ''n'' não é um [[número natural]], então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de [[inverso aditivo]], e a [[subtração]], a [[operação inversa]] da adição.

A versão mais geral destas ideias é a [[combinação linear]], em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.

== Somas úteis ==
As identidades a seguir são bastante úteis:
:
{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
|-
|
: <math> \sum_{i=1}^{n} i = \frac {n(n+1)}{2}</math>
| &nbsp;(ver [[séries aritméticas]]);
|}
: <math> \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2;</math>
: <math> \sum_{i=0}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};</math>
: <math> \sum_{i=0}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2};</math>
: <math> \sum_{i=N_1}^{N_2} x^{i} = \frac{x^{N_2+1}-x^{N_1}}{x-1}</math>&nbsp;(ver [[séries geométricas]]);
: <math> \sum_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math>&nbsp;(caso especial do anterior em que <math>{N_1}=0</math>)
: <math> \sum_{i=0}^{\infty} kx^{i} = \frac{k}{1-x}; |x|<1</math>&nbsp;(caso especial do anterior, <math>\lim_{n\to\infty}</math>);
:
{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
|-
|
:<math> \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}</math>
| &nbsp;(ver [[coeficiente binomial]]);
|}
: <math> \sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}.</math>

Em geral, a soma das ''n'' primeiras potências de ''m'' é
:<math>\sum_{i=0}^n i^m = \frac{(n+1)^{m+1}}{m+1} + \sum_{k=1}^m\frac{B_k}{m-k+1}{m\choose k}(n+1)^{m-k+1},</math>
onde <math>B_k</math> é o ''k''-ésimo [[Números de Bernoulli|número de Bernoulli]].

As seguintes expressões são aproximações úteis (usando [[big O notation|notação teta]]):
:{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
|-
| <math> \sum_{i=1}^{n} i^{c} = \Theta(n^{c+1})</math>
| &nbsp;para toda constante real ''c'' maior que -1;
|}
: <math> \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \Theta(\log{n})</math>
:{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
|-
| <math> \sum_{i=1}^{n} c^{i} = \Theta(c^{n})\,</math>
| &nbsp; para toda constante real ''c'' maior que 1;
|}
:{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
|-
| <math> \sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} =\Theta(n \cdot \log(n)^{c})</math>
| &nbsp; para toda constante real ''c'' maior ou igual a zero;
|}
:{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
|-
| <math> \sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} =\Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})</math>
| &nbsp; para todas constantes reais não-negativas ''c'' e ''d'';
|}
:{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0
|-
| <math> \sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} \cdot b^{i} =\Theta (n^{d} \cdot \log(n)^{c} \cdot b^{n})</math>
| &nbsp; para todas constantes reais ''b'' > 1, ''c'', ''d''.
|}

== Aproximação por integrais ==
Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer [[função crescente]] ''f'':

:<math> \int_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.</math>

Para aproximações mais gerais, ver a [[fórmula de Euler-Maclaurin]].

== Em música ==
A adição também é usada na [[teoria musical dos conjuntos]]. [[George Perle]] fornece o exemplo seguinte:
:"dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo [[intervalo (música)|intervalo]]… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de [[díade (música)|díades]] simetricamente relacionadas, como segue:"

{|
|''ré'' ||  ||ré♯ ||  ||mi ||  ||fá ||fá♯ ||  ||sol ||  ||''sol♯''
|-
|''ré'' ||  ||dó♯ ||  ||dó ||  ||si ||lá♯ ||  ||lá ||  ||''sol♯''
|}
::Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela [[classe de alturas]].

Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).

A [[linha de tonalidades]] para a ''[[Lyric Suite]]'' de [[Alban Berg]], <math>\{0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6\}</math>, é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna <math>\{0,6,5,1,\dots\}</math>, em que todas as díades somam 6.

{|
|+'''Díades sucessivas da linha de tonalidades de ''Lyric Suite'', todas somando 11'''
|-
|''dó''
| 
|sol
| 
|ré
| 
|ré♯
| 
|lá♯
| 
|''mi♯''
|-
|''si''
| 
|mi
| 
|lá
| 
|sol♯
| 
|dó♯
| 
|''fá♯''
|}
::Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).

== Ver também ==
* [[Aritmética modular]]
* [[Soma de Gauss]]
* [[Portal:Matemática]]

== Ligações externas ==
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml Addition]

{{Referências}}
{{Aritmética elementar}}
{{Portal3|Matemática}}

{{Tradução/ref|en|Addition}}

{{DEFAULTSORT:Adicao}}
[[Categoria:Aritmética elementar]]