Adição

Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.

Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

Propriedades

Comutatividade

4 + 2 = 2 + 4 com blocos

A adição é comutativa, o que significa que se pode mudar a ordem dos termos em uma soma e ainda obter o mesmo resultado. Simbolicamente, se a e b são dois números quaisquer, então:

a + b = b + a

O fato de que a adição é comutativa é conhecido como a "lei comutativa da adição" ou "propriedade comutativa da adição". Algumas outras operações binárias também são comutativas, como a multiplicação, mas muitas outras, como a subtração e a divisão, não são.

Associatividade

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 com hastes segmentadas

A adição é associativa, o que significa que, ao somar três ou mais números, a forma como os números são agrupados não altera o resultado.

Como exemplo, se a expressão a + b + c deve ser definida para significar (a + b) + c ou a + (b + c)? Dado que a adição é associativa, a escolha da definição é irrelevante. Para quaisquer três números a, b e c, é verdade que Predefinição:Nowrap. Por exemplo, Predefinição:Nowrap.

Quando a adição é usada juntamente com outras operações, a ordem das operações torna-se importante. Na ordem padrão das operações, a adição tem uma prioridade menor do que exponenciação, raízes enésimas, multiplicação e divisão, mas tem a mesma prioridade que a subtração.

Elemento identidade

5 + 0 = 5 com conjuntos de pontos

Adicionar zero a qualquer número não muda o número; isso significa que zero é o elemento identidade para a adição e também é conhecido como a identidade aditiva. Em símbolos, para todo Predefinição:Math, temos:

Predefinição:Math.

Esta lei foi identificada pela primeira vez na obra de Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta em 628 d.C., embora ele a tenha escrito como três leis separadas, dependendo se a é negativo, positivo ou zero, utilizando palavras em vez de símbolos algébricos. Mais tarde, matemáticos indianos refinaram o conceito; por volta do ano 830, Mahavira escreveu: "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondendo à afirmação unária Predefinição:Math. No século XII, Bhaskara escreveu: "Na adição de zero, ou subtração dele, a quantidade, positiva ou negativa, permanece a mesma", correspondendo à afirmação unária Predefinição:Math.

Sucessor

No contexto dos números inteiros, a adição de um também desempenha um papel especial: para qualquer inteiro a, o inteiro Predefinição:Nowrap é o menor inteiro maior que a, também conhecido como o sucessor de a. Por exemplo, 3 é o sucessor de 2 e 7 é o sucessor de 6. Devido a essa sucessão, o valor de Predefinição:Nowrap também pode ser visto como o b-ésimo sucessor de a, tornando a adição uma sucessão iterada. Por exemplo, Predefinição:Nowrap é 8, porque 8 é o sucessor de 7, que é o sucessor de 6, tornando 8 o 2º sucessor de 6.

Unidades

Para somar numericamente quantidades físicas com unidades, elas devem ser expressas com unidades comuns. Por exemplo, adicionar 50 mililitros a 150 mililitros resulta em 200 mililitros. No entanto, se uma medida de 5 pés for estendida por 2 polegadas, a soma é 62 polegadas, uma vez que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, geralmente não faz sentido tentar somar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparáveis; esse tipo de consideração é fundamental na análise dimensional.

Notação

Símbolo matemático da soma.

Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:

$\sum _{i=m}^n{x}_i=x_m+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_n.$

O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:

$\sum _{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5.$

Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:

$\sum _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{x}_i:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=m}^n{x}_i.$

Podemos substituir de forma similar m por infinito negativo, e

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_i:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=-n}^m{x}_i+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=m+1}^n{x}_i,$

para algum m, desde que ambos os limites existam.

Relações com outras operações e constantes

É possível somar menos que 2 números:

• Se você somar o termo único x, então a soma é x;
• Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.

A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.

Somas úteis

As identidades a seguir são bastante úteis:

$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$

(ver séries aritméticas);

$\sum _{i=1}^n(2i-1)=n^2;$

$\sum _{i=0}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6};$

$\sum _{i=0}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2;$

$\sum _{i=N_1}^{N_2}{x}^i=\frac{x^{N_2+1}-x^{N_1}}{x-1}$ (ver séries geométricas);

$\sum _{i=0}^n{x}^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ (caso especial do anterior em que $N_1=0$)

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}k{x}^i=\frac{k}{1-x};|x|<1$ (caso especial do anterior, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }$);

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^n$

(ver coeficiente binomial);

$\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1}).$

Em geral, a soma das n primeiras potências de m é

$\sum _{i=0}^n{i}^m=\frac{(n+1{)}^{m+1}}{m+1}+\sum _{k=1}^m\frac{B_k}{m-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(n+1{)}^{m-k+1},$

onde $B_k$ é o k-ésimo número de Bernoulli.

As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):

$\sum _{i=1}^n{i}^c=\mathrm{\Theta }(n^{c+1})$

para toda constante real c maior que -1;

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=\mathrm{\Theta }(\log n)$

$\sum _{i=1}^n{c}^i=\mathrm{\Theta }(c^n)$

para toda constante real c maior que 1;

$\sum _{i=1}^n\log (i{)}^c=\mathrm{\Theta }(n\cdot \log (n{)}^c)$

para toda constante real c maior ou igual a zero;

$\sum _{i=1}^n\log (i{)}^c\cdot i^d=\mathrm{\Theta }(n^{d+1}\cdot \log (n{)}^c)$

para todas constantes reais não-negativas c e d;

$\sum _{i=1}^n\log (i{)}^c\cdot i^d\cdot b^i=\mathrm{\Theta }(n^d\cdot \log (n{)}^c\cdot b^n)$

para todas constantes reais b > 1, c, d.

Aproximação por integrais

Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:

$\underset{s=a-1}{\overset{b}{\int }}f(s)ds\le \sum _{i=a}^{b}f(i)\le \underset{s=a}{\overset{b+1}{\int }}f(s)ds.$

Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.

Em música

A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:

"dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"

ré		ré♯		mi		fá	fá♯		sol		sol♯
ré		dó♯		dó		si	lá♯		lá		sol♯

Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela classe de alturas.

Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).

A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, $\{0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6\}$, é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna $\{0,6,5,1,\dots \}$, em que todas as díades somam 6.

Díades sucessivas da linha de tonalidades de Lyric Suite, todas somando 11

dó		sol		ré		ré♯		lá♯		mi♯
si		mi		lá		sol♯		dó♯		fá♯

Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).

Ver também

• Aritmética modular
• Soma de Gauss
• Portal:Matemática

Ligações externas

• Addition