Limite

Predefinição:Cálculo Em matemática, a noção de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito $(+\mathrm{\infty })$. Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

Limite de uma sequência

Predefinição:AP Seja $x_1,x_2,\dots$ uma sequência de números reais. A expressão: $$\lim x_i=L$$ significa que, para índices $i$ suficientemente grandes, os termos $x_i$ da sequência estão arbitrariamente próximos do valor $L.$ Neste caso, dizemos que o limite da sequência é $L.$

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de $L$ os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice $i$, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de $L$ quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de $L$ (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto $(L-ϵ,L+ϵ)$ com $ϵ>0$, o desafiado deve exibir um número natural $N$ tal que $\mathrm{\forall }i$ com $i>N$ tem-se que $x_i\in (L-ϵ,L+ϵ)$.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim: $$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N};\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}\wedge i\ge N\Rightarrow |x_i-L|<ϵ$$

Limite de uma função

Suponhamos que $f(x)$ é uma função real e que $c$ é um número real. A expressão: $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$$ significa que $f(x)$ se aproxima tanto de $L$ quanto quisermos, quando se toma $x$ suficientemente próximo de $c$. Quando tal acontece dizemos que o limite de $f(x)$, à medida que $x$ se aproxima de $c$, é $L$.

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que $f(c)=L$, nem sequer que $f(x)$ esteja definida em $c$. Agora, no caso de $f(c)$ existir (estar definido) e $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$$ diz-se que $f(x)$ é contínua no ponto $c$.

Exemplos

Consideremos $$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$ à medida que $x$ se aproxima de $2$, i.e busquemos calcular $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x}{x^2+1}$$ Neste caso, $f(x)$ está definida em $2$ e é igual ao seu limite: $0,4,$ vejamos:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\to$ 0,4 $\leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

À medida que $x$ aproxima-se de $2$, $f(x)$ aproxima-se de $0,4$ e consequentemente temos $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=0,4$$ Ou seja, $f(x)$ é contínua no ponto $2$.

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua): $$g(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{x^2+1},& \text{se }x\ne 2\\ \\ 0,& \text{se }x=2.\end{array}$$ O limite de $g(x)$ à medida que $x$ se aproxima de $2$ é $0,4$ (tal como no exemplo acima), mas $$g(2)=0\ne \underset{x\to 2}{\lim }g(x)$$ e consequentemente $g(x)$ não é contínua em $x=2$.

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua: $$h(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$ Apesar de $h(x)$ não estar definida em $x=1$, pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que $$\underset{x\to 1}{\lim }h(x)=2$$

h(0,9)	h(0,99)	h(0,999)	h(1.0)	h(1,001)	h(1,01)	h(1,1)
1,95	1,99	1,999	$\to$ não está definido $\leftarrow$	2,001	2,010	2,10

Observa-se que $x$ pode ser tomado tão próximo de $1$ quanto quisermos, sem no entanto ser igual a $1$, donde infere-se que o limite de $f(x)$ é $2$.

Definição formal

A definição ε-δ de limite.

Sejam $I\subset ℝ$ um intervalo de números reais, $a\in I$ e $f:I-\{a\}\to ℝ$ uma função real definida em $I-\{a\}.$ Escrevemos $$A=\underset{x\to a}{\lim }f(x)$$ quando para qualquer que seja $\epsilon >0$ existe um $\delta >0$ tal que para todo $x\in I,$ satisfazendo $0<|x-a|<\delta ,$ vale $|f(x)-A|<\epsilon$. Ou, usando a notação simbólica:

$$A=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in I;0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$$

Exemplos de provas de limites

Exemplo 1

$\underset{x\to 2}{\lim }(3x+1)=7$ Supondo um $ϵ>0$

$|(3x+1)-7|<ϵ$

$|3x-6|<ϵ$

Dividindo por 3 em ambos os lados:

$|x-2|<\frac{ϵ}{3}$

O que prova o limite com $\delta =\frac{ϵ}{3}>0$

Exemplo 2

$\underset{x\to 1}{\lim }(1+x)=2$

Supondo um $ϵ>0$

$|1+x-2|<ϵ$

$|x-1|<ϵ$

E isso completa a prova com $\delta =ϵ>0$

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. A noção de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x₀ arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: $f(x)=2x+1$ e imaginando $f:ℝ\to ℝ$ (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: $f(0)=2.0+1$ que nos dá: $f(0)=0+1=1,$ ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

• Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
• Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
• Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
• Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

---

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: $f(x)=2x+1$ nos reais, calcular o limite da função $f$ quando $x\to 1.$ Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função $f(x)$ descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por $|x-a|,$ não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:

Seja $f$ uma função do tipo:

$$D\subseteq {ℝ}^n\to ℝ$$$$x⟼f(x)=z$$

Em que $x$ é um vector com $n$ coordenadas e $z$ um número real. Se $a$ for um vector com $n$ coordenadas, então:

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L\iff \mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0:(x\in D\wedge 0<d(x,a)<\delta )⟹|f(x)-L|<ϵ$$

Em que $d(x,a)=\Vert x-a\Vert$ é a função distância.

Exemplo

Uma função do tipo:

$${ℝ}^2\to ℝ$$$$(x,y)⟼f(x,y)=z$$

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

$${ℝ}^2\to ℝ$$$$(x,y)⟼f(x,y)=xy$$

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=L$$

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

• o limite através do eixo dos $yy,$ ou seja,

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,0)=L$$

Nesse caso o limite L é zero.

• o limite através do eixo dos $xx,$ ou seja,

$$\underset{y\to 0}{\lim }f(0,y)=L$$

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }xy=0$$

Ou seja, provar que

$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0:((x,y)\in {ℝ}^2\wedge 0<\Vert (x,y)-(0,0)\Vert <\delta )⟹|xy-0|<ϵ$$$$\iff \mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0:((x,y)\in {ℝ}^2\wedge 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta )⟹|xy|<ϵ$$

Vamos procurar escrever $\delta$ em função de $ϵ.$

$$\sqrt{x^2+y^2}<\delta \iff x^2+y^2<{\delta }^2$$$$|xy|\le \max \{|x|,|y|{\}}^2\le x^2+y^2<{\delta }^2$$

Se escolhermos $\delta =\sqrt{ϵ},$ então, pela segunda desigualdade, $|xy|<{\delta }^2=ϵ,$ o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

$${ℝ}^2\to ℝ$$$$(x,y)⟼f(x,y)=\frac{xy}{(x^2+y^2)}$$

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

$$x=(\cos \alpha )t$$

$$y=\left(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha \right)t$$

a função toma a forma

$$f(x,y)=\frac{\cos (\alpha )\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\alpha )}{(\cos \alpha {)}^2+(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha {)}^2}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\alpha )}{2}$$

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Ver também

• Limite de uma função
• Lista de limites
• Função contínua