Derivada

Predefinição:Cálculo No cálculo, a derivada em um ponto de uma função $y=f(x)$ representa a taxa de variação instantânea de $y$ em relação a $x$ neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto $x=a$ de $y=f(x)$ representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto $(a,f(a))$. A função que a cada ponto $x$ associa a derivada neste ponto de $f(x)$ é chamada de função derivada de f(x).

Em cada ponto, a derivada de $f(x)=1+x\sin x^2$ é a tangente do ângulo que a reta tangente à curva faz em relação ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.

Notação

Duas distintas notações são comumente utilizadas para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a partir de Joseph Louis Lagrange. 

Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, e a derivada de y em relação a x é escrito $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$.

sugerindo que a razão de duas quantidades infinitesimais (A expressão acima é lido como "a derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy sobre dx". A forma oral dydx é usado frequentemente em tom de conversa, embora possa levar à confusão).

Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em caso de ambiguidade da variável implicada pela derivação. A notação de Lagrange é por vezes incorretamente atribuída a Newton. 

Definição

Uma animação que dá uma ideia intuitiva da derivada, à medida que o "balanço" de uma função muda quando o argumento muda.

Seja $I$ um intervalo aberto não-vazio e seja $f:I\to ℝ$, $y=f(x)$, uma função de $I$ em $ℝ$. Diz-se que função $f(x)$ é derivável no ponto $a\in I$ se existir o seguinte limite:

$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

Se for esse o caso, o número real $f^{\prime }(a)$ é chamado de derivada da função $f$ no ponto $a$. Notações equivalentes são:

$f^{\prime }(a)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)={\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|}_{x=a}$.

Equivalentemente, escrevemos:

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

o que é obtido fazendo $h=x-a$ no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de $f(x)$ por:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

para todo $x$ para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Inclinação da secante ao gráfico de f

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a.  

Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não passou diretamente pelo gráfico.

O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φ_a de I em R contínua em a tal que

$(\mathrm{\forall }x\in I):f(x)=f(a)+{\phi }_a(x)\cdot (x-a)$.

Então define-se a derivada de f em a como sendo φ_a(a).

Funções com valores em R$n^{}$

Se $I$ for um intervalo de $ℝ$ com mais do que um ponto e se $f$ for uma função de $I$ em ${ℝ}^n$, para algum número natural $n$, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& ⟶& {ℝ}^2\\ & x& \mapsto & (\cos (x),\mathrm{sen}(x))\end{array}$ (ou seja: uma função que a cada x do domínio em $ℝ$ responde com uma coordenada no contradomínio em ${ℝ}^n$. Esta coordenada é $(\cos (x),\mathrm{sen}(x))$.

é derivável e

$(\mathrm{\forall }x\in ℝ):f^{\prime }(x)=(-\mathrm{sen}(x),\cos (x)).$

O gráfico de uma função, desenhadas em preto, e uma linha tangente a essa função, elaborado em vermelho. A inclinação da linha tangente é igual a derivada da função no ponto marcado.

De fato, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, exceto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Diferenciabilidade

Derivabilidade num ponto

• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função de $I$ em R derivável em $a$. Então $f$ é contínua em $a$. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e sejam $f$ e $g$ funções de $I$ em R deriváveis em $a$. Então as funções $f$ ± $g$, $f.g$ e (caso $g(a)$ ≠ $0$) $f/g$ também são deriváveis em $a$ e:
  • $(f\pm g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)\pm g^{\prime }(a)$
  • $(f.g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a)$
  • $(f/g{)}^{\prime }(a)=\frac{f^{\prime }(a)g(a)-f(a)g^{\prime }(a)}{g(a{)}^2}$

Em particular, se $c$ ∈ R, então $(c.f{)}^{\prime }=c.f^{\prime }$. Resulta daqui e de se ter $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ que a derivação é uma aplicação linear.

• Sejam $I$ e $J$ intervalos de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$, seja $f$ uma função de $I$ em $J$ derivável em $a$ e seja seja $g$ uma função de $J$ em R derivável em $f(a)$. Então $g$ o $f$ é derivável em $a$ e

$(g\circ f{)}^{\prime }(a)=g^{\prime }(f(a)).f^{\prime }(a)$.

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função contínua de $I$ em R derivável em $a$ com derivada não nula. Então a função inversa $f^{-1}$ é derivável em $f(a)$ e

$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(a))=\frac{1}{f^{\prime }(a)}\cdot$

Outra maneira de formular este resultado é: se $a$ está na imagem de $f$ e se $f$ for derivável em $f^{-1}(a)$ com derivada não nula, então

$(f^{-1}{)}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}\cdot$

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Gráfico de uma função derivável.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Gráfico da função modular, que não é derivável em $0$.

Derivabilidade em todo o domínio

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

Uma função diferenciável

• Uma função derivável $f$ de $I$ em R é constante se e só se a derivada for igual a $0$ em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
• Uma função derivável $f$ de $I$ em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a $0$ em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que $0$ é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor $0$ em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por $f(x)=x^3$. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

• Se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, sendo $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, então $f^{\prime }(I)$ também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se $f$ for uma função derivável de $[a,b]$ em R e se $y$ for um número real situado entre $f^{\prime }(a)$ e $f^{\prime }(b)$ (isto é, $f^{\prime }(a)$ ≤ $y$ ≤ $f^{\prime }(b)$ ou $f^{\prime }(a)$ ≥ $y$ ≥ $f^{\prime }(b)$), então existe algum $c$ ∈ $[a,b]$ tal que $f^{\prime }(c)=y$. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Funções continuamente deriváveis

Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto e seja $f$ uma função de $I$ em R. Diz-se que $f$ é continuamente derivável ou de classe $C^1$ se $f$ for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & \{\begin{array}{cc}{x}^2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\frac{1}{x})& \text{ se }x\ne 0\\ 0& \text{ se }x=0\text{,}\end{array}\end{array}$

pois o limite $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ não existe; em particular, f' não é contínua em $0$.

Derivadas de ordem superior

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)\right)$

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{x}^2},\frac{{\mathrm{d}}^{3}f}{\mathrm{d}{x}^3}$

ou alternativamente,

$f^{\prime }(x),f^{″}(x),f^{‴}(x)$

ou ainda

$f^{(1)}(x),f^{(2)}(x),f^{(3)}(x)$

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f^(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe C^k.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C^∞.

Exemplos

Se $c$ ∈ R, a função $f$ de R em R definida por $f(x)=c$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $0$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{c-c}{x-a}=0$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir ${\varphi }_a$ de R em R por ${\varphi }_a(x)=0$, então ${\varphi }_a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$c=c+0.(x-a)=c+{\phi }_a(x).(x-a)$;

além disso, $f^{\prime }(a)={\varphi }_a(a)=0$.

A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $1$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{x-a}{x-a}=1$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir ${\varphi }_a$ de R em R por ${\varphi }_a(x)=1$, então ${\varphi }_a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x=a+1.(x-a)=a+{\phi }_a(x).(x-a)$;

além disso, $f^{\prime }(a)={\varphi }_a(a)=1$.

A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x^2$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto $a$ ∈ R é igual a $2a$, pois:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{x^2-a^2}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }x+a=2a$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir ${\varphi }_a$ de R em R por ${\varphi }_a(x)=x+a$, então ${\varphi }_a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+{\phi }_a(x).(x-a)$;

além disso, $f^{\prime }(a)={\varphi }_a(a)=2a$.

A função módulo de R em R não é derivável em $0$ pois

$(\mathrm{\forall }x\in ℝ):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\{\begin{array}{cc}1& \text{ se }x>0\\ -1& \text{ se }x<0\end{array}$

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em $a$ é igual a $1$ quando $a>0$ e é igual a $-1$ quando $a<0$.

Ponto de inflexão

Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x = 0 da função y = $x^{\frac{1}{3}}$. Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função côncava, ou vice-versa.

Pontos críticos, estacionários ou singulares

Predefinição:Artigo principal Pontos onde a derivada da função é igual a $0$ chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos $x$. Estes pontos podem acontecer:

1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função $f(x)=x^3$: no ponto $x=0$ a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função $f(x)=x^{2}sin(1/x)$
5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

Derivadas notáveis

Predefinição:AP A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.

A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente utilizadas de uma única variável real e seus derivados. 

Alguns exemplos de derivadas notáveis são:

• A função exponencial natural y = e^x = exp(x) cuja derivada é igual a si mesma, isto é:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^x=e^x.$

• A função logaritmo natural y = ln(x):

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln (x)=\frac{1}{x},x>0.$

Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^x=e^x$ e da fórmula para a derivada da inversa que

$(\mathrm{\forall }x>0):{\log }^{\prime }(x)=({\exp }^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{{\exp }^{\prime }({\exp }^{-1}(x))}=\frac{1}{\exp (\log (x))}=\frac{1}{x}\cdot$

Reciprocamente, supondo-se que, para cada $x>0$, ${\log }^{\prime }(x)=1/x$, então ${\exp }^{\prime }(x)=({\log }^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{{\log }^{\prime }({\log }^{-1}(x))}=\frac{1}{1/\exp (x)}=\exp (x).$

• Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin (x)=\cos (x).$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos (x)=-\sin (x).$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan (x)={\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x).$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc (x)=-\cot (x)\csc (x)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec (x)=\sec (x)\tan (x)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot (x)=-{\csc }^2(x)$

• E funções Funções trigonométricas inversas:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1.$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},-1<x<1.$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan (x)=\frac{1}{1+x^2}$

Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

Regras para funções combinadas

Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite.  Algumas das regras mais básicas são as seguintes:

• Regra da constante: se f(x) é constante, então:

$f^{\prime }=0.$

• Regra da soma:

$(\alpha f+\beta g{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }+\beta g^{\prime }$

para todas as funções f e g e todos os números reais $\alpha$ e $beta$

• Regra do produto:

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\pi r^2=2\pi r.$

• Regra do quociente:

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.

• Regra da cadeia:

Se $f(x)=h(g(x)),$

então:

$f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

Exemplo de uso

A derivada de $f(x)=x^4+\sin (x^2)-\ln (x)e^x+7$

é $\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =4x^{(4-1)}+\frac{\mathrm{d}\left(x^2\right)}{\mathrm{d}x}\cos (x^2)-\frac{d(\ln x)}{dx}{e}^x-\ln x\frac{\mathrm{d}\left(e^x\right)}{\mathrm{d}x}+0\\ & =4x^3+2x\cos (x^2)-\frac{1}{x}{e}^x-\ln (x)e^x.\end{array}$

As derivadas conhecidas de funções elementares $x^2,x^4,$ sen(x) e $exp(x)=e^x$, assim como a constante 7, também foram usadas. 

Funções de uma variável complexa

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Física

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

• Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
• Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

$\begin{array}{cc}v(t)& =\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\\ a(t)& =\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}\end{array}$

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Derivadas em maiores dimensões

Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas necessitam ser tratadas como transformações lineares.Predefinição:Sfn

Derivadas de funções vetoriais

Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores em $R^n$ algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = ($y_1$ (t), ..., $y_n$ (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas paramétricas em R² ou R³.

As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é,  

${𝐲}^{\prime }(t)=(y{\text{'}}_1(t),\dots ,y{\text{'}}_n(t)).$

equivalentemente, 

${𝐲}^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐲(t+h)-𝐲(t)}{h},$ se o limite existe.

A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 

Se $e_1$, ..., $e_n$ é a base padrão para $R^n$, então y (t) também pode ser escrito como $y_1$(t)$e_1$ + ... + $y_n$(t)$e_n$. Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade, então a derivada de y (t) deve ser

$y{\text{'}}_1(t){𝐞}_1+\cdots +y{\text{'}}_n(t){𝐞}_n$

porque cada um dos vetores de base é uma constante. 

Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t. 

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.

Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 

$f(x,y)=x^2+xy+y^2.$

f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis: 

$f(x,y)=f_x(y)=x^2+xy+y^2.$

Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função,  denotando $f_x$, que é uma função de um número real.  Ou seja, 

$x\mapsto f_x,$

$f_x(y)=x^2+xy+y^2.$

Uma vez que um valor de x é escolhido,  digamos a, então f(x,y) determina a função $f_a$ que envia y a a2+ay+y2: 

$f_a(y)=a^2+ay+y^2.$

Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que $f_a$ é uma função de uma única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável aplica-se: 

${f_a}^{\prime }(y)=a+2y.$

O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+2y.$

Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 

Em geral, a derivada parcial de uma função f ($x_1$, ..., $x_n$) na direção de $x_i$, no ponto ($a_1$ ..., $a_n$) é definido como sendo:  

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_i+h,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_n)}{h}.$ 

Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto $x_i$, são mantidos fixos. Essa escolha de valores fixos determina uma função de uma variável. 

{$f_{a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1},\dots ,a_n}(x_i)=f(a_1,\dots ,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\dots ,a_n),$

e por definição, 

$\frac{\mathrm{d}{f}_{a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1},\dots ,a_n}}{d{x}_i}(a_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n).$

Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz para o cálculo dos derivados de uma variável. 

Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar f ($x_1$, ..., $x_n$) em um domínio no espaço Euclidiano $R^n$ (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável $x_j$. No ponto a, estas derivadas parciais definem o vetor 

$\mathrm{\nabla }f(a)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)).$

Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f  que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). 

Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.

Derivadas direcionais 

Se f é uma função com valores reais em $R^n$, então a derivada parcial de f mede a sua variação na direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 

$𝐯=(v_1,\dots ,v_n).$

A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite  

$D_{𝐯}f(𝐱)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+h𝐯)-f(𝐱)}{h}.$

Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença. 

O quociente da diferença torna-se: 

$\frac{f(𝐱+(k/\lambda )(\lambda 𝐮))-f(𝐱)}{k/\lambda }=\lambda \cdot \frac{f(𝐱+k𝐮)-f(𝐱)}{k}.$

Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f  no que diz respeito a u. Além disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 

Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários.    

Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada direcional de f na direção de v  pela fórmula: 

$D_{𝐯}f(𝒙)=\sum _{j=1}^n{v}_j\frac{\partial f}{\partial x_j}.$ 

Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v, significando que D${}_V$ + ${}_W$(f) = D${}_V$(f) + D${}_W$(f).  

A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em $R^m$. . A definição acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em $R^m$.

Derivadas de aplicações

Sejam $U$ um aberto de ${ℝ}^m$, $z_0\in U$ e $f:U\to {ℝ}^n$ uma função. Dizemos que $f$ é diferenciável quando existem uma transformação linear $T:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ e uma função $r:\{z-z_0:z\in U\}\to {ℝ}^n$ dada por $r(h)=f(z_0+h)-f(z_0)-T.h$ tais que

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{r(h)}{|h|}=0$.

Neste caso, a aplicação $T$ é chamada de derivada da função $f$ no ponto $z_0$ e denotada por $Df(z_0)$. Em outras palavras

$Df(z_0)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+t{z}_0)-f(x)}{t}.$

Exemplos

1. Se $f:U\subset ℝ\to ℝ$, $z_0\in U$ e $h\in ℝ$, então $$Df(z_0)h=h.f^{\prime }(z_0).$$
2. Se $f:U\subset ℝ\to {ℝ}^n$, $z_0\in U$ e $h\in ℝ,$ então $$Df(z_0)h=h.({f_1}^{\prime }(z_0),{f_2}^{\prime }(z_0),...,{f_n}^{\prime }(z_0)).$$
3. Se $f:U\subset {ℝ}^m\to ℝ$, $z_0\in U$ e $h=(h_1,\cdots ,h_m)\in {ℝ}^m,$ então $$Df(z_0)h=h_1.\frac{\partial f}{\partial x_1}(z_0)+\cdots +h_m.\frac{\partial f}{\partial x_m}(z_0)$$
4. Se $f:U\subset {ℝ}^m\to {ℝ}^n$, $z_0\in U$ e $h\in {ℝ}^n,$ então $$Df(z_0)h=(h.\mathrm{\nabla }{f}_1(z_0),\cdots ,h.\mathrm{\nabla }{f}_n(z_0))$$

Nesta definição, podemos considerar a derivada parcial de uma aplicação como sendo

$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)=Df(x)e_j.$

Podemos repensar nessa igualdade. Se observarmos que $e_{j}x$ corresponde à $j$-ésima coordenada de $x$ e que a $j$-ésima coordenada de $\mathrm{\nabla }f(z_0)$ é $\frac{\partial f}{\partial x_j}(z_0)$ segue que $$\frac{\partial f}{\partial x_j}(z_0)=(\frac{\partial f_1}{\partial x_j}(z_0),\cdots ,\frac{\partial f_n}{\partial x_j}(z_0))$$

Bibliografia

• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
• Predefinição:Citar livro
• Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
• Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

Ver também

• Cálculo Diferencial e Integral
• Cálculo fracionário
• Derivada simétrica, Diferenciação automática, Diferenciação numérica
• Diferintegral
• Classe de diferenciabilidade
• Linearização
• Tabela de derivadas
• Técnicas para diferenciação

Ligações externas

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