Linearização

Em matemática e suas aplicações, linearização refere-se a encontrar a aproximação linear de uma função em um dado ponto. No estudo de sistemas dinâmicos, linearização é um método para avaliar-se a estabilidade local de um ponto de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais não lineares ou sistemas dinâmicos discretos. Este método é usado em campos tais como engenharia, física, economia e ecologia.

Linearização de uma função

Linearizações de funções são funções lineares geralmente usadas com propósito de realizar cálculos específicos. Linearizar é um método eficaz de aproximar a imagem de uma função $y=f(x)$ em qualquer $x=a$ baseando-se na inclinação da reta tangente da função em $x=b$, desde que $f(x)$ seja contínua em $[a,b]$ (ou $[b,a]$) e $a$ esteja suficientemente próximo de $b$.

Por exemplo: você provavelmente sabe que $\sqrt{4}=2$. Mas sem uma calculadora, como seria possível calcular $\sqrt{4,001}$?

Seja $L_a(x)$ a função correspondente à linearização de $f(x)$ em $a$, a propriedade da Localidade Linear nos diz que qualquer função diferenciável num ponto é linear naquele ponto, ou seja, sob um certo nível de zoom, seu gráfico assemelhar-se-á a uma reta. Essa reta é justamente a reta tangente da função naquele ponto específico.

Sendo assim, a linearização (aproximação de Taylor de primeira ordem) da função $f(x)$ no ponto $x=a$ será: $y-f(a)=m(x-a)$ ou $y=f(a)+m(x-a)$, em que $m$ é a inclinação da reta, que corresponde à derivada da função $f(x)$ em $a$. A equação final para a fórmula do cálculo da linearização é:

$y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

Exemplo

Para encontrar $\sqrt{4,001}$ nós podemos usar o fato de que $\sqrt{4}=2$. A linearização de $f(x)=\sqrt{x}$ no ponto $x=a$ é

$y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)$

Substituindo $a$ por 4, temos:

$y=2+\frac{1}{4}(x-4)$

Nesse caso, $x=4,001$, então:

$y=2+\frac{1}{4}(0,001)=2.00025$

Perceba que o verdadeiro valor de $\sqrt{4,001}$ é $2,000249984$, portanto esta linearização possui um erro de $0,000000016$.

Ver também

• Proporção direta
• Reta tangente
• Cálculo diferencial
• Séries de Taylor