Conjunto imagem

A imagem do conjunto X é o conjunto {A,B,D} que é subconjunto de Y.

Função sobrejetora: Neste caso, a imagem do conjunto X é o conjunto Y, porque todos seus valores estão associados a algum elemento do conjunto X.

Em matemática, o conjunto imagem ou campo de valores de uma função $f:X\to Y$ é o conjunto de todos os elementos de Predefinição:Mvar que são imagem de algum elemento de X. Costuma ser representado por $\mathrm{I}(f)$ ou $\mathrm{Im}(f).$ Por definição, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio: $\mathrm{I}(f)\subseteq Y.$

A imagem de um dado elemento $x$ do domínio é o único $y$ do contradomínio associado a ele pela função $f.$ É representada por $f(x).$ Portanto, temos:$$\mathrm{I}(f)=\{y\in Y|y=f(x)\text{ para algum }x\in X\}.$$Uma função $f:X\to Y$, cujo contradomínio é dado por Y e $\mathrm{I}(f)=Y$, isto é, quando o conjunto imagem tem os mesmos elementos do contradomínio, é chamada de sobrejetora. Uma função $f:X\to Y$, cujo contradomínio é dado por Y e $\mathrm{I}(f(x_1))\ne \mathrm{I}(f(x_2))⟹x_1\ne x_2$, isto é, quando a imagem de $x_1$ é diferente da imagem de $x_2$ e que $x_1$ é diferente de $x_2$, é chamada de injetora. Se uma função é injetora e $\mathrm{I}(f(x_1))=\mathrm{I}(f(x_2))$, então $x_1=x_2$. É bijetora, isto é, sobrejetora e injetora, uma vez que $\mathrm{I}(f)=\{y\in Y|\mathrm{\exists }!x\in X,f(x)=y\}=Y$.

Exemplo

Seja a função $g:ℝ\to ℝ,$ definida por $g(x)=x^2.$ A imagem de 2 pela função $g$ é $g(2)=2^2=4.$ De maneira análoga, diz-se que as imagens de 6, -6 e 7 pela função $g$ são 36, 36 e 49, respectivamente, o que pode ser representado matematicamente por $g(6)=36,$ $g(-6)=36$ e $g(7)=49.$ O conjunto imagem de $g$ é o conjunto de todos os valores assumidos por $g(x),$ para todo $x\in ℝ.$ Portanto, $I(g)={ℝ}_{+}.$

Ver também

• Função
• Contradomínio
• Domínio
• Imagem inversa