Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.

Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes a dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto $A$ fechado, seu complementar $A^c$ é aberto e vice versa. Então $A$ é aberto se, e somente se, $A^c$ é fechado.

Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos.

Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto.

Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto.

Demonstração: Dado $A_1$ e $A_2$ abertos, a união destes dois é $\cup (A_1,A_2)=A$. Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à $A_1$ ou à $A_2$ (possivelmente à ambos), se estiver em $A_1$ existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de $A_1$, o mesmo para $A_2$. Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de $\cup (A_1,A_2)=A$. Isso se generaliza para $A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n;n\in \mathbb{N}$ é aberto, se cada $A_i$ é aberto, $i=1,...,n$..

Definição

Espaços topológicos

Predefinição:Artigo principal Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia $T$ em um conjunto $X$ é definida como um subconjunto do conjunto das partes de $X$ (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de $T$ é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Espaços métricos

Predefinição:Artigo principal Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos. Ou seja, dado um espaço métrico $S$, um subconjunto $X$ de $S$ é aberto se, para cada ponto $a\in X$, existe $\delta >0$ tal que a bola aberta $B(a,\delta )$ ainda esteja contida em $X$.

Propriedades

• Em um espaço topológico ou espaço métrico $X$, o conjunto vazio e o próprio conjunto $X$ são abertos.
• Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
• Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
• A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
• A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de $ℝ$

Como $ℝ$ (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto $X$ de $ℝ$ é aberto se, para cada ponto $a\in ℝ$, existe $ϵ$ tal que $(a-ϵ,a+ϵ)\subset X$.

Em $ℝ$, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro