Bola (matemática)

Uma bola em ${ℝ}^3$ é o espaço interior a uma esfera

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta (excluindo-os).

Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.

Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

Bolas em espaços métricos

Num espaço métrico $(X,d)$, a bola aberta de raio $\delta$ centrada num ponto $x$ é o conjunto de pontos cuja distância a $x$ é inferior a $\delta$, isto é, $B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)<\delta \}$;

A bola fechada de raio $\delta$ centrada num ponto $x$ é o conjunto de pontos à distância de $x$ não superior a $\delta$, isto é, $B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)\le \delta \}$.

Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

Exemplos

Exemplos de bolas em ${ℝ}^2$ nas normas $\Vert 𝒙{\Vert }_1$, $\Vert 𝒙{\Vert }_2$ e $\Vert 𝒙{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

• Em $ℝ$, uma bola é um intervalo.Predefinição:Sfn
• Em ${ℝ}^2$, uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso.Predefinição:Sfn
• Em ${ℝ}^3$, uma bola é o espaço interior a uma esfera.
• Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
• Em ${ℝ}^2$ com a métrica $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\Vert (x_1,y_1)-(x_2,y_2){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\text{max}(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$, uma bola é um quadrado.Predefinição:Sfn
• Em ${ℝ}^2$ com a métrica $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\Vert (x_1,y_1)-(x_2,y_2){\Vert }_1=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$, uma bola é um losango.
• Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

Propriedades

Em qualquer espaço métrico $(X,d)$,

• Toda bola aberta é um aberto de X.
• Toda bola fechada é um fechado de X.
• Um subconjunto é limitado se, e somente se, está contido em alguma bola.Predefinição:Sfn

No ${ℝ}^n$ com qualquer norma, todas bolas são convexas, sejam abertas ou fechadas.Predefinição:Sfn

Esferas e Bolas Unitárias no espaço Euclidiano

No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos $(x_1,\dots ,x_n)$ que satisfaz a equação

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1$

e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le 1.$

Fórmulas de área e volume

O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos V_n, pode ser expressa em termos da função gama por

$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(1+n/2)}=\{\begin{array}{cc}{\pi }^{n/2}/(n/2)!& \mathrm{s}\mathrm{e}n\ge 0\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r},\\ \\ {\pi }^{\lfloor n/2\rfloor }{2}^{\lceil n/2\rceil }/n!!& \mathrm{s}\mathrm{e}n\ge 0\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r},\end{array}$

onde n!! é o duplo fatorial.

A hipervolume da esfera unitária (n<meta typeof="mw:DiffMarker">–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por A_n, pode ser expressa da forma

$A_n=n{V}_n=\frac{n{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(1+n/2)}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2)},$

onde a última igualdade vale para n > 0.

As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:

$n$	$A_n$ (área da superfície)		$V_n$ (volume)
0	$0(1/0!){\pi }^0$	0	$(1/0!){\pi }^0$	1
1	$1(2^1/1!!){\pi }^0$	2	$(2^1/1!!){\pi }^0$	2
2	$2(1/1!){\pi }^1=2\pi$	6.283	$(1/1!){\pi }^1=\pi$	3.141
3	$3(2^2/3!!){\pi }^1=4\pi$	12.57	$(2^2/3!!){\pi }^1=(4/3)\pi$	4.189
4	$4(1/2!){\pi }^2=2{\pi }^2$	19.74	$(1/2!){\pi }^2=(1/2){\pi }^2$	4.935
5	$5(2^3/5!!){\pi }^2=(8/3){\pi }^2$	26.32	$(2^3/5!!){\pi }^2=(8/15){\pi }^2$	5.264
6	$6(1/3!){\pi }^3={\pi }^3$	31.01	$(1/3!){\pi }^3=(1/6){\pi }^3$	5.168
7	$7(2^4/7!!){\pi }^3=(16/15){\pi }^3$	33.07	$(2^4/7!!){\pi }^3=(16/105){\pi }^3$	4.725
8	$8(1/4!){\pi }^4=(1/3){\pi }^4$	32.47	$(1/4!){\pi }^4=(1/24){\pi }^4$	4.059
9	$9(2^5/9!!){\pi }^4=(32/105){\pi }^4$	29.69	$(2^5/9!!){\pi }^4=(32/945){\pi }^4$	3.299
10	$10(1/5!){\pi }^5=(1/12){\pi }^5$	25.50	$(1/5!){\pi }^5=(1/120){\pi }^5$	2.550

onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.

Recursão

Os valores de A_n satisfazem a recursão:

$A_0=0$

$A_1=2$

$A_2=2\pi$

$A_n=\frac{2\pi }{n-2}{A}_{n-2}$ para $n>2$.

Os valores de V_n satisfazem a recursão:

$V_0=1$

$V_1=2$

$V_n=\frac{2\pi }{n}{V}_{n-2}$ para $n>1$.

Dimensão Fracional

As fórmulas para A_n e V_n podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.

hipervolume da esféra (x–1)-dimensional (isto é, a "área" da superfície da bola unitária x-dimensional) como uma função contínua de x

Volume da Bola em x- dimensional como uma função contínua de x

Outros raios

A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é A_n rⁿ⁻¹ e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é V_n rⁿ. Particularmente, a área é Predefinição:Nowrap para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é Predefinição:Nowrap para a bola tridimensional de raio r.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro