Intervalo (matemática)

Em Matemática, um intervalo (real) é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter os próprios extremos. Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1 (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0 e 1, bem como todos os números reais entre eles. Outros exemplos de intervalos são o conjunto dos números reais $ℝ$ e o conjunto dos números reais negativos.

Representação geométrica de um exemplo de intervalo. Neste caso, tem-se que $b>a$, pois a reta real é orientada para a direita e, portanto, cresce nesse sentido. As "bolinhas vazias" nos extremos $a$ e $b$ indicam que esses números não pertencem ao intervalo. Logo, qualquer número real menor ou igual a $a$ não pertence a esse intervalo, assim como qualquer número real maior ou igual a $b$.

Os extremos podem ser números reais como também podem ser $-\mathrm{\infty }$ e $+\mathrm{\infty }$. Existem divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo. Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção.

Representação

Notações comuns para representar intervalos são:

• $(a,b)=]a,b[=\{x\in ℝ\mid a<x<b\}$: intervalo aberto
• $[a,b)=[a,b[=\{x\in ℝ\mid a\le x<b\}$: intervalo semi-fechado ou semi-aberto
• $(a,b]=]a,b]=\{x\in ℝ\mid a<x\le b\}$: intervalo semi-aberto ou semi-fechado
• $[a,b]=\{x\in ℝ\mid a\le x\le b\}$: intervalo fechado
• $[a,+\mathrm{\infty })=[a,+\mathrm{\infty }[=\{x\in ℝ\mid x\ge a\}$: intervalo fechado
• $(a,+\mathrm{\infty })=]a,+\mathrm{\infty }[=\{x\in ℝ\mid x>a\}$: intervalo aberto
• $(-\mathrm{\infty },a]=]-\mathrm{\infty },a]=\{x\in ℝ\mid x\le a\}$: intervalo fechado
• $(-\mathrm{\infty },a)=]-\mathrm{\infty },a[=\{x\in ℝ\mid x<a\}$: intervalo aberto
• $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[=ℝ$: a reta toda é um intervalo aberto e fechado
• $\mathrm{\varnothing }$: conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.

O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado.

Explicação

• ] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
• [ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
• ] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
• [ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
• ° → bolinha vazada significa que esse número está excluído.
• • → bolinha preenchida significa que ele está incluído.

Ligações externas

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