Função gama

A função gama nos números reais.

Em matemática, a função gama (representada pela letra maiúscula grega $\mathrm{\Gamma }$) é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1. Se n é um inteiro positivo define-se da seguinte forma:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ ou $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Esta função é estendida por uma continuação analítica (ou extensão analítica) para todos números complexos com, não estando definida apenas nos inteiros não-positivos (em que a função tem polos simples). Portanto, para números complexos com a parte real positiva a definição segue por uma integral imprópria convergente:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{t-1}{e}^{-x}dx$

Podemos encontrar a demonstração da convergência desta integral no artigo de Emil Artin, The Gamma Function.

A função gama é debutante em diversas funções de distribuição probabilísticas, sendo assim encontra aplicações nos campos da probabilidade, estatística e combinatória.

Motivação

A função gama pode ser vista como solução do seguinte problema de interpolação:

"Encontrar uma curva suave que conecta os pontos (x , y) dados por y = (x − 1)! em que x é um inteiro positivo."

Esboçando em um gráfico os primeiros números fatoriais fica claro que a curva pode ser desenhada, mas seria preferível ter um expressão analítica que descreve precisamente a curva, na qual o número de operações não dependa do tamanho  de x. A simples fórmula recursiva para o fatorial x! = x × ... × 2 × 1,  não pode ser usada para obter valores fracionários, pois é válida apenas quando x é um número natural. No entanto, foi demonstrado por Euler que não há uma expressão analítica convencional para fatorial, no sentido que não pode ser a combinação finita (com um número finito de termos) de somas, potências, produtos, funções exponenciais e logaritmos, demonstrado em seu artigo intitulado "Sobre progressões transcendentais, nas quais o termo geral não pode ser expresso algebricamente", ("De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt"). A função gama é uma solução que não só resolve este problema, mas também possuí distinguíveis propriedades entre as candidatas, como é mostrado no Teorema de Bohr-Mollerup.

Prova

É fácil perceber, através da regra da cadeia e de recursos da integração imprópria, que

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r}dr={-e^{-r}|}_0^{\mathrm{\infty }}=1$

Usando o método da substituição, de modo que $r=st,dr=tds$, (t>0 e fixo), obtém-se:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}ds=\frac{1}{t},t>0$

Derivando-se em relação a $t$ e aplicando a fórmula de Leibniz:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s{e}^{-st}ds=\frac{1}{t^2},t>0$

Utilizando o mesmo processo novamente:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{s}^2{e}^{-st}ds=\frac{1.2}{t^3},t>0$

Derivando sucessivas vezes em relação a $t$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{s}^n{e}^{-st}ds=\frac{n!}{t^{n+1}},t>0$

Para $t=1$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{s}^n{e}^{-s}ds=n!$

Dessa forma, tem-se uma função fatorial definida para quaisquer valores reais positivos $x$, de modo que:

$g(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-s}{s}^{x}ds=x!$

Contudo, consagrou-se o uso de uma definição levemente destoante, a Função Gama de Euler, tal que

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{x-1}dt$

Assim,

$\mathrm{\Gamma }(x)=g(x-1)$

E, analogamente, para números inteiros,

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Com isso, acabamos de provar que a função gama funciona como uma representação do Fatorial, quando é aplicada em números inteiros, isso permite a idealização de afirmarmos que quando calculamos a função gama para outros números em seu domínio (Números fracionários ou irracionais) estamos obtendo o "fatorial" desses números. Um exemplo disso, é a seguinte relação, da qual omitiremos a demonstração:

$(1/2)!=\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$

A função gama incompleta é obtida pela mesma integral que a função gama, porém com uma integral indefinida no lugar da integral definida:

$\mathrm{\Gamma }(a,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt.$

$\gamma (a,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt.$

A função digama é a derivada do logaritmo da função gama:

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

A função beta, também chamada de Integral de Euler de primeiro tipo, pode ser definida por uma razão de funções gama:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

Propriedades

Propriedade Fundamental

A propriedade mais importante da função gama é dada por

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$

Que pode ser obtida pela integração por partes da definição da função gama

$\mathrm{\Gamma }(z+1)={-e^{-t}{t}^z|}_0^{\mathrm{\infty }}+z\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

O lado esquerdo do resultado é igual a zero. A integral do lado direito do resultado é a própria definição da função gama.

Segue desta propriedade que

$\mathrm{\Gamma }(z)=(z-1)\mathrm{\Gamma }(z-1)$

E também

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z(z-1)(z-2)...$

Para números inteiros, a recursividade da propriedade cai na definição do fatorial. Esta propriedade é válida também para números no domínio dos complexos.

Além delas, existe a importante propriedade abaixo encontrada por Hamilton Brito de forma independente, com $a$ e $b$ $\in \mathbb{N}$ sendo $a\ge 2$ e $b\ge 1$:

$\mathrm{\Gamma }(a+bi)\cdot \mathrm{\Gamma }(a-bi)=b\cdot (b^2+1)\cdot \pi \cdot cossech(b\cdot \pi )\prod _{n=2}^{a-1}(b^2+n^2)$

Representação em produto

A função gama pode ser escrita por um produto de Hadamard:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{\frac{z}{n}}$

Domínio da função gama

A integral que define a função gama converge para todo

$x>0$

Assim um intervalo de definição da função é:

$\mathrm{\Gamma }(x):(0,\mathrm{\infty })$

Prova

Escrevendo A função como:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt+\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

A segunda integral converge muito rápido pelo fator $e^{-t}$ que tende a zero quando $t$ tende a infinito, neutralizando qualquer crescimento que o termo $t^{x-1}$ apresente.

Na primeira integral para $0<t<1$ a função $e^{-t}$ fica controlada. Logo a convergência dessa integral vai depender apenas do termo $t^{x-1}$.

Para $x>0$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}dt=\frac{1^x}{x}-0=\frac{1}{x}<\mathrm{\infty }$

Para $x=0$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{-1}dt=ln1-ln0=\mathrm{\infty }$

Para $x<0$ temos que $x-1<-1$, então:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}dt>\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{-1}dt=\mathrm{\infty }$

Pela propriedade fundamental, pode-se estender o domínio da função gama em intervalos que contém números negativos. Define-se então que

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{z}$

Para números no intervalo z ∈ (-1, 0), como z < 0, vê-se que

$\mathrm{\Gamma }(z)<0$

E também que

$\underset{z\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{z\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{\Gamma }(z)=-\mathrm{\infty }$

Continuando com o mesmo processo, o domínio da função gama passa a ser

$ℝ$ - {0, -1, -2, -3, ...}

Um resultado de interesse em algumas aplicações calculado pela Função é $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

Demonstração

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-\left(\frac{1}{2}\right)}{e}^{-t}dt$

Fazendo $t=r^2$, obtemos $dt=2rdr$ logo:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-\left(\frac{1}{2}\right)}{e}^{-t}dt=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}dr$

Utilizando a técnica de Liouville:

$I=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

$I^2=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$

A última integral é uma integral dupla facilmente calculada em coordenadas polares:

$I^2=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdrd\theta =\frac{\pi }{4}$

Utilizando uma troca de variáveis é fácil chegar ao resultado.

$I^2=\frac{\pi }{4}$

$I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

$2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}dr=2\frac{\sqrt{\pi }}{2}=\sqrt{\pi }$

Sendo assim:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

Bibliografia

• Boyce e DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, editora LTC, 9ª edição, 2010.
• Dennis G. Zill, Michael R. Cullen; Equações Diferenciais, vol 1; Editora Makron Books do Brasil
• Davis, Philip J.; Abramowitz, Milton; Stegun, Irene. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 1972.

Ligações externas

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