Regra da cadeia

Predefinição:Cálculo Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena $\left(\frac{dy}{dx}\right).$

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

Enunciado

A regra da cadeia afirma que

$$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x),$$

que em sua forma sucinta é escrita como: $(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }$

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

$$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$$

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a integração por substituição.

Intuitivamente, a regra da cadeia afirma que sabendo-se a taxa de variação instantânea de z relativa à y e àquela de y relativa à x permite que se calcule a taxa de variação instantânea de z relativa à x. Como dito por George F. Simmons: "se um carro viaja duas vezes mais rápido que uma bicicleta, e a bicicleta é quatro vezes mais rápida que um andarilho, então o carro viaja 2 × 4 = 8 vezes mais rapidamente que o andarilho."

Exemplos

• Exemplo 1: Considere $f(x)=(x^2+1{)}^3.$ Temos que $f(x)=h(g(x))$ onde $g(x)=x^2+1$ e $h(g(x))=(g(x){)}^3.$ Então, $$f^{\prime }(x)=3(x^2+1{)}^2(2x)=6x(x^2+1{)}^2.$$
• Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo: $$f(x)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x^2),$$ pode ser escrita como $f(x)=h(g(x))$ com $h(x)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ e $g(x)=x^2.$ A regra da cadeia afirma que $$f^{\prime }(x)=2x\cos (x^2)$$ uma vez que $h^{\prime }(g(x))=\cos (x^2)$ e $g^{\prime }(x)=2x.$

Regra da cadeia para várias variáveis

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função $z=f(x,y)$ onde $x=g(t)$ e $y=h(t),$ então $$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

Suponha que cada função de $z=f(u,v)$ é uma função de duas variáveis tais que $u=h(x,y)$ e $v=g(x,y),$ e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a: $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

Se considerarmos $\overrightarrow{r}=(u,v)$ acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de $f$ e a derivada de $\overrightarrow{r}:$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x}$$

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções: $$\frac{\partial (z_1,\dots ,z_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_p)}=\frac{\partial (z_1,\dots ,z_m)}{\partial (y_1,\dots ,y_n)}\frac{\partial (y_1,\dots ,y_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_p)}$$