Diferencial total

O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função.

Por exemplo, se $z=z(x,y)$ é uma função diferenciável, então o diferencial total de z é:

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\in ({ℝ}^2)$

Visualização

Para uma função de 2 variáveis, como no caso acima, numa região pequena o bastante nas vizinhanças do ponto $(x,y)$, a imagem da função pode ser aproximada por um plano.

Relação entre os incrementos parciais e o total

Os pontos, $f(x),f(x+\mathrm{\Delta }x),f(y),f(y+\mathrm{\Delta }y)$ formam um paralelogramo nesse plano.

A variação total da função, que corresponde à diferença de altura entre o vértice mais alto $f(x,y)$ e o mais baixo $f((x+\mathrm{\Delta }x),(y+\mathrm{\Delta }y))$ do paralelograma, é a soma das diferenças de altura entre os vértices superior a um dos intermediários e deste ao inferior: $\mathrm{\Delta }fx+\mathrm{\Delta }fy$.

Como as derivadas parciais são as tangentes dos ângulos em cada plano vertical, obtêm-se dos triângulos retângulos:

$\mathrm{\Delta }fx=\frac{\partial f}{\partial x}*\mathrm{\Delta }x$ e $\mathrm{\Delta }fy=\frac{\partial f}{\partial y}*\mathrm{\Delta }y$

Quando $\mathrm{\Delta }x$ e $\mathrm{\Delta }y$ tendem a zero: $df=\frac{\partial f}{\partial x}*dx+\frac{\partial f}{\partial y}*dy$

Representação

Em cálculo vetorial, o diferencial total de uma função $f:{ℝ}^n\to ℝ$ pode ser representado como:

$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$

onde f é uma função $f=f(x_1,x_2,....,x_n)$.

Regra da Cadeia

Quando os argumentos de uma função $f(x,y)$ são por sua vez também funções: $x(r,t)$ e $y(r,t)$, os cálculos de $\frac{\partial f}{\partial r}$ e $\frac{\partial f}{\partial t}$ podem ser obtidos a partir da expressão do diferencial total:

Pela definição de derivada parcial:

$\frac{\partial f}{\partial r}=\lim (dr$→$0)\frac{f(x(r+dr,t),y(r+dr,t))-f(x(r,t),y(r,t))}{dr}$

O numerador pode ser visto como um diferencial total de uma função de x e y entre os pontos $(x,y)$ e $(x+dx,y+dy)$

$f(x(r+dr,t),y(r+dr,t))-f(x(r,t),y(r,t))=df=\frac{\partial f}{\partial x}*dx+\frac{\partial f}{\partial y}*dy$,

onde $dx=x(r+dr,t)-x(r,t)$ e $dy=y(r+dr,t)-y(r,t)$

Substituindo na expressão de $\frac{\partial f}{\partial r}$,

$\frac{\partial f}{\partial r}=\lim (dr$→$0)\frac{\frac{\partial f}{\partial x}*(x(r+dr,t)-x(r,t))+\frac{\partial f}{\partial y}*(y(r+dr,t)-y(r,t))}{dr}$

Mas,

$\lim (dr$→$0)\frac{(x(r+dr,t)-x(r,t))}{dr}=\frac{\partial x}{\partial r}$ e

$\lim (dr$→$0)\frac{(y(r+dr,t)-y(r,t))}{dr}=\frac{\partial y}{\partial r}$

Logo, temos a expressão da regra da cadeia para 2 variáveis:

$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}*\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}*\frac{\partial y}{\partial r}$

E de forma análoga:

$\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}*\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}*\frac{\partial y}{\partial t}$

Derivada total

A derivada total é uma caso particular da regra da cadeia, quando os argumentos de f (x,y,z), só dependem, cada um deles, de uma variável: x= x(t), y=y(t), z= z(t). Aplicando a regra da cadeia para este caso:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}*\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}*\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial z}*\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$

Ou vetorialmente:

$\frac{\mathrm{d}𝐀}{\mathrm{d}t}=(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

Sendo A um vetor pertencente a um espaço vetorial bem definido e v o campo de velocidades, ou seja, $𝐯=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}$.

É necessário distinguir a notação de derivada total da parcial quando se deriva uma função do tipo $f(t,x,x^{\prime })$ que é fundamental para o cálculo de variações. A variável x aqui depende do tempo $x=x(t),x^{\prime }=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$. Então, derivar em relação ao tempo resulta em:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\cdot x^{\prime }+\frac{\partial f}{\partial x^{\prime }}\cdot x^{″}$

Exemplo 1

Uma função simples:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=2+3x^{\prime }+5x^{″}$

Exemplo 2

Um exemplo um pouco mais complexo e ilustrativo poderia ser: $f(t,x,x^{\prime })=t^3+\frac{1}{x}+\ln (x^{\prime })$ nesse caso a derivada total é:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=3t^2-\frac{x^{\prime }}{x^2}+\frac{x^{″}}{x^{\prime }}$