Produto escalar

Predefinição:Mais-fontes Predefinição:Formatar referências Em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado. É o produto interno padrão do espaço euclidiano.

Algebricamente, o produto escalar de dois vetores é formado pela multiplicação de seus componentes correspondentes e pela soma dos produtos resultantes. Geometricamente, é o produto das magnitudes euclidianas dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.

Definição

Geométrica

Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção escalar de A em B.

O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por $\cdot$ ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B.

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert \cos \theta$

Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.

Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

$𝐀\cdot 𝐀=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐀\Vert \cos 0={\Vert 𝐀\Vert }^2$

Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:

$\theta =\arccos \frac{𝐀\cdot 𝐁}{\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert }$

Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.

Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.

Algébrica

Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como

$𝐀=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ e

$𝐁=(b_1,b_2,\cdots ,b_n),$

o produto escalar entre A e B é:

$𝐀\cdot 𝐁=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{𝐀\cdot 𝐀}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$

Projeção escalar

A projeção escalar de um vetor a em direção a um vetor b é dada por:

$a_b=\Vert a\Vert \cos \theta$,

onde $\theta$ é o ângulo entre a e b.

Em termos da definição geométrica do produto escalar, este pode ser reescrito como

$a_b=a\cdot \hat{b}$,

onde $\hat{b}=b/\Vert b\Vert$ é o vetor unitário na direção de b.

O produto escalar é, portanto, caracterizado geometricamente por

$a\cdot b=a_b\Vert b\Vert =b_a\Vert a\Vert$.

Propriedades

Sejam A e B dois vetores com "n" linhas e 1 coluna, ou seja, de dimensões iguais. O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:

• Comutativa: $𝐀\cdot 𝐁=𝐁\cdot 𝐀$ .
• Distributiva em relação à soma de vetores: $𝐀\cdot (𝐁+𝐂)=𝐀\cdot 𝐁+𝐀\cdot 𝐂$.
• Multiplicação por escalar: $\left(n_1𝐀\right)\cdot \left(n_2𝐁\right)=\left(n_1{n}_2\right)(𝐀\cdot 𝐁)$
• Soma de quadrados:${𝐀}^{𝐓}\cdot 𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& ...& a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]=a_1\cdot a_1+a_2\cdot a_2+...+a_n\cdot a_n=\sum _{i=1}^n\left({a_i}^2\right)$, ou seja, a multiplicação de um vetor pelo seu transposto é igual à soma de seus elementos ao quadrado. Note que essa soma é um número escalar, ou, o que é equivalente, uma matriz de dimensões 1X1.