Vetor unitário

Um vetor unitário ou versor num espaço vetorial normado é um vetor (mais comumente um vetor espacial) cujo comprimento é 1. Um vetor unitário é muitas vezes denotado com um “circunflexo”, logo: î.

No espaço euclidiano, o produto escalar de dois vetores unitários é simplesmente o cosseno do ângulo entre eles. Isto é devido à fórmula do produto escalar, já que os comprimentos de ambos vetores é 1.

O vetor normalizado û de um vetor não zero u é o vetor unitário codirecional com u, i.e. $$\widehat{𝐮}=\frac{𝐮}{||𝐮||}.$$

O termo vetor normalizado é algumas vezes utilizado simplesmente como sinônimo para vetor unitário.

Os elementos de uma base são geralmente vetores unitários. Na coordenada cartesiana tridimensional, esses elementos são usualmente i, j e k — vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente. $$\widehat{𝐢}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\widehat{𝐣}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\widehat{𝐤}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

Estes nem sempre são escritos com um circunflexo, mas pode ser normalmente assumido que i, j e k são vetores unitários na maioria dos contextos.

Outros sistemas de coordenadas, como coordenada polar ou coordenada esférica utiliza vetores unitários diferentes; suas notações variam.

O vetor

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se $\overrightarrow{u}$ é o versor de $\overrightarrow{v},$ então:

$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$

Isto se evidencia por:

$|\overrightarrow{u}|=\left|\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}\right|$

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{{\left(\frac{v_x}{|\overrightarrow{v}|}\right)}^2+{\left(\frac{v_y}{|\overrightarrow{v}|}\right)}^2+{\left(\frac{v_z}{|\overrightarrow{v}|}\right)}^2}$

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{|\overrightarrow{v}{|}^2}}$

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

$|\overrightarrow{u}|=1$

Versores primários

Os versores são úteis para diversas operações , alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

• $\overrightarrow{i}=⟨1,0,0⟩$
• $\overrightarrow{j}=⟨0,1,0⟩$
• $\overrightarrow{k}=⟨0,0,1⟩$

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor $\overrightarrow{v}=⟨v_x,v_y,v_z⟩,$ pode ser referenciado e operado na forma:

$\overrightarrow{v}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}+v_z\overrightarrow{k}$

O que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Versor na Física

Versor tangencial

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}},$ na direção tangente à trajetória e no sentido do movimento. A figura abaixo mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.

Versor tangencial ${\overrightarrow{e}}_t$ em três pontos da trajetória.

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. O objeto chega a ponto P deslocando-se para a direita e um pouco para cima, direção essa que é definida pelo versor tangencial em azul na figura acima, ficando em repouso no ponto P; num instante posterior o objeto começa novamente a deslocar-se, agora em direção para a esquerda e para baixo, representada pelo vetor tangencial a verde na figura.

Os únicos pontos da trajetória onde a direção tangente tem uma descontinuidade (dois vetores tangenciais no mesmo ponto), são os pontos em que a velocidade é nula. Nos pontos onde a velocidade não for nula, deverá existir sempre um único versor tangencial ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}},$ que apontará na direção e sentido da velocidade. Isto é, a velocidade pode ser escrita:

$\overrightarrow{v}=v{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$

A velocidade $\overrightarrow{v}$ é igual à derivada do vetor posição $\overrightarrow{r}:$

$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}$

O vetor posição $\overrightarrow{r}$ não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que $\overrightarrow{r}$ depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura abaixo).

No entanto, a equação acima garante que, independentemente da escolha do referencial, a derivada de $\overrightarrow{r}$ será sempre o mesmo vetor (velocidade) na direção tangencial.

Se $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo $\mathrm{\Delta }t$ (figura abaixo), a distância percorrida durante esse intervalo, $\mathrm{\Delta }s,$ é sempre maior ou igual que o módulo de $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}.$

A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ só seria igual a $\mathrm{\Delta }s$ se a trajetória fosse reta, com versor tangencial constante.

No limite quando $\mathrm{\Delta }t$ for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e; assim sendo, a direção de $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ será aproximadamente igual a $\mathrm{\Delta }s.$ A derivada do vetor posição será então,

Deslocamento vetorial entre dois pontos nas posições $\overrightarrow{r}$ e $\overrightarrow{r}+\mathrm{\Delta }r$

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$

E, substituindo na equação $\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t},$ obtém-se:

$\overrightarrow{v}=\dot{s}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da distância percorrida, $s,$ em ordem ao tempo, já que $\dot{s}$ não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.

Versor normal

A aceleração $\overrightarrow{a}$ é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, obtém-se derivando o lado direito da equação,

$\overrightarrow{v}=\dot{s}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$

,temos :

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{s}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}+\dot{s}\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}}{\mathrm{d}t}$

Variação do versor tangencial

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura ao lado, mostra como calcular a derivada de ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}.$

Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da primeira figura para um ponto comum, o aumento de ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$ no intervalo desde A até B é o vetor $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$ que une os dois vetores.

Sendo o módulo de ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$ igual a 1, os dois versores ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$ na figura acima descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo $\mathrm{\Delta }\theta .$

Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a $\mathrm{\Delta }\theta .$

Se o intervalo de tempo $\mathrm{\Delta }t$ for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$ será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo $\mathrm{\Delta }\theta ;$ conclui-se que a derivada de ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$ é:

$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}}{\mathrm{d}t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{n}}=\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{n}}$

Em que ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{n}}$ é o {versor normal}, perpendicular à trajetória, e

$\dot{\theta }$ representa o valor da {velocidade angular}.

Substituindo essa derivada na equação ...

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{s}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}+\dot{s}\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}}{\mathrm{d}t}$

, obtém-se a expressão para a aceleração:

$\ddot{s}{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}+\dot{s}\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\mathrm{n}}$

Concluindo, a aceleração tem uma componente tangencial à trajetória e uma componente normal (perpendicular) à trajetória.

A componente tangencial da aceleração tangencial, $a_{\mathrm{t}}=\ddot{s},$ é a aceleração segundo a trajetória.

A componente normal da {aceleração normal} é igual ao produto do valor da velocidade $\dot{s}$ pelo valor da velocidade angular $\dot{\theta }:$

$a_{\mathrm{n}}=\dot{s}\dot{\theta }$

Tendo em conta que os versores ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}$ e ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{n}}$ são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação acima implica que o valor da aceleração, $a,$ será a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

$a^2=a_{\mathrm{t}}^2+a_{\mathrm{n}}^2$

Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória

O ângulo de rotação do versor tangencial, $\mathrm{\Delta }\theta ,$ é também igual ao ângulo de rotação do versor normal ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{n}}.$

A figura acima mostra os versores normais nos mesmos pontos A e B da trajetória na figura inicial da secção (versor).

Repare que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, denomina-se ponto de inflexão.

No ponto P (figura acima) existem duas direções normais, porque, conforme referido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial ${\overrightarrow{e}}_{\mathrm{t}}.$

Raio de curvatura.

A figura ao lado mostra o versor normal no início e no fim do percurso entre os pontos A (instante $t_0$) e B (instante $t_0+\mathrm{\Delta }t$) correspondente ao movimento da figura anterior.

As direções dos dois versores normais cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes ($R_{\mathrm{A}}$ e $R_{\mathrm{B}}$), mas

serão iguais no limite $\mathrm{\Delta }t\to 0,$ em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva.

A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, $R,$ da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existe um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento $\mathrm{d}s$ pode ser aproximado por um arco

de circunferência de raio $R$ e ângulo $\mathrm{d}\theta ;$

a distância percorrida é o comprimento desse arco :

$\mathrm{d}s=R\mathrm{d}\theta$

Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é:

$\dot{\theta }=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{R\mathrm{\Delta }t}=\frac{\dot{s}}{R}$

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular $\dot{\theta }$ é igual ao valor da velocidade, $\dot{s},$ dividida pelo raio de curvatura $R$ nesse ponto.

Usando este resultado, a componente normal da aceleração, $a_{\mathrm{n}},$ pode ser escrita do modo seguinte:

$a_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{R}$

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, $a_{\mathrm{n}},$ é chamada habitualmente{aceleração centrípeta}.

Aplicação na mecânica dos fluídos

Em mecânica de fluídos, o fluxo de massa fluida escoando por uma superfície S que limita um volume arbitrário no espaço é dado por:

$\int \int (pv)*ndS$

onde ρ é a densidade do fluido, v é a velocidade com que as partículas de fluido atravessam a superfície e dS uma medida (a menos do rigor matemático). Notavelmente, n  pode ser substituído por uma relação entre inclinações determinadas por produto vetorial de vetores tangentes em relação a superfície S.

O exemplo do fluxo de massa é apenas um que leva em conta uma das muitas integrais nas quais n tem um papel fundamental. Outros exemplos onde ele figura são: Teorema da Divergência (comumente cunhado como Teorema de Gauss), Teorema do Transporte (de Leibnitz, ou Reynolds), tensor hidrostático, Teorema de Young-Laplace da tensão superficial. Predefinição:Referências