Espaço vetorial

Adição vetorial e multiplicação por escalar: um vetor Predefinição:Math (azul) é adicionado a outro vetor Predefinição:Math (vermelho, ilustração superior). Na imagem inferior, w está esticado por um fator de 2, acarretando a soma Predefinição:Math.

Um espaço vetorial (também chamado de espaço linear) é uma coleção de objetos chamada vetores, que podem ser somados um a outro e multiplicados ("escalonados") por números, denominados escalares. Os números reais são escalares frequentemente utilizados, mas também existem espaços vetoriais com multiplicação por números complexos, números racionais; em geral, por qualquer corpo. As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar precisam satisfazer certas propriedades, denominadas axiomas (listados abaixo, em Predefinição:Slink). Para explicitar se os escalares são números reais ou complexo, os termos espaço vetorial real e espaço vetorial complexo são frequentemente utilizados.

Vetores euclidianos são um exemplo de espaço vetorial. Eles representam quantidades físicas como forças: quaisquer duas forças (do mesmo tipo) podem ser somadas para resultar em uma terceira, enquanto que a multiplicação de um vetor de força por um número real gera outro vetor de força. De forma semelhante, porém com um sentido mais geométrico, vetores que representam deslocamentos em um plano ou em um espaço tridimensional também formam espaços vetoriais. Vetores em espaços vetoriais não necessitam ser objetos do tipo seta, como aparecem nos exemplos mencionados acima; vetores são tratados como entidades matemáticas abstratas com propriedades particulares, que, em alguns casos, podem ser visualizados por setas.

Espaços vetoriais são o objeto de estudo da álgebra linear e são bem caracterizados pela sua dimensão, que, grosso modo, especifica o número de direções independentes no espaço. Espaços vetoriais de dimensão infinita surgem naturalmente em análise matemática, como em espaços funcionais, cujos vetores são funções. Esses espaços vetoriais são munidos em geral de uma estrutura adicional, que pode ser uma topologia, permitindo a consideração de conceitos como proximidade e continuidade. Dentre essas topologias, aquelas que são definidas por uma norma ou um produto interno são mais frequentemente utilizadas, por possuírem uma noção de distância entre dois vetores. Esse é o caso particularmente com os espaços de Banach e os espaços de Hilbert, que são fundamentais em análise matemática.

Historicamente, as primeiras ideias que levaram ao conceito de espaços vetoriais podem ser associadas aos avanços, durante o século XVII, nas áreas de geometria analítica, matrizes, sistemas de equações lineares, e vetores euclidianos. O tratamento moderno e mais abstrato, formulado pela primeira vez por Giuseppe Peano em 1888, contém objetos mais gerais que o espaço euclidiano, mas muito da teoria pode ser visto como uma extensão de ideias da geometria clássica como retas, planos, e seus análogos de dimensão mais alta. Atualmente, os espaços vetoriais permeiam a matemática, a ciência e a engenharia. Eles são a noção apropriada da álgebra linear para lidar com sistemas de equações lineares. Eles oferecem um escopo para as séries de Fourier, que são utilizadas em métodos de compressão de imagens, e eles fornecem um ambiente que pode ser utilizado para técnicas de solução de equações diferenciais parciais. Ademais, espaços vetoriais fornecem uma maneira abstrata, livre de coordenadas, de lidar com objetos geométricos e físicos como tensores. Isso por sua vez permite a análise de propriedades locais variedades por técnicas de linearização. Espaços vetoriais podem ser generalizados de diversas maneiras, acarretando noções mais avançadas em geometria e em álgebra abstrata.

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a $n$ ($n\in \mathbb{N}$) formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes $m\times n$ e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais. Predefinição:Estruturas algébricas

Introdução e definição

O conceito de espaço vetorial será primeiramente explicado pela descrição de dois exemplos específicos:

Primeiro exemplo: setas em um plano

O primeiro exemplo de um espaço vetorial consiste de setas em um plano fixo, começando por um ponto fixo. Isso é usado em física para descrever forças ou velocidades. Dadas duas setas deste tipo, Predefinição:Math e Predefinição:Math, o paralelogramo formado por elas contém uma seta diagonal que também começa na origem. Essa nova seta é chamada de soma das setas anteriores e é denotada por Predefinição:Math. No caso especial de duas setas na mesma linha, a soma delas é a seta na mesma linha cujo comprimento é a soma ou a diferença dos comprimentos, dependendo se as setas possuem mesmo sentido ou sentidos opostos. Uma outra operação que pode ser feita com setas é o seu escalonamento: dado qualquer número real positivo Predefinição:Math, a seta que tem a mesma direção que Predefinição:Math, mas está dilatada ou contraída ao multiplicar seu comprimento por Predefinição:Math, é chamada multiplicação de Predefinição:Math por Predefinição:Math. É denotada por Predefinição:Math. Quando Predefinição:Math for negativo, Predefinição:Math é definido como a seta apontando no sentido oposto.

A seguir estão alguns exemplos: se Predefinição:Math, o vetor resultante Predefinição:Math tem a mesma direção que Predefinição:Math, mas está esticado, tendo um comprimento que é o dobro de Predefinição:Math (imagem abaixo, à direita). De forma equivalente, Predefinição:Math é a soma de Predefinição:Math. Além disso, Predefinição:Math tem o sentido oposto e o mesmo comprimento que Predefinição:Math (vetor azul apontando para baixo, na imagem à direita).

Segundo exemplo: pares ordenados de números

Um segundo exemplo chave de um espaço vetorial é fornecido por pares de números reais Predefinição:Math e Predefinição:Math. (A ordem das componentes Predefinição:Math e Predefinição:Math é importante, de modo que um par também seja chamado de par ordenado.) Tal par é escrito como Predefinição:Math. A soma de dois desses pares e a multiplicação de um par por um número são definidas da seguinte maneira:

Predefinição:Math + Predefinição:Math Predefinição:Math

e

Predefinição:Math.

O primeiro exemplo acima reduz-se a esse se as setas forem representadas por um par de coordenadas cartesianas do seus pontos finais.

Definição

Neste artigo, os vetores são representados em negrito para distingui-los de escalares.Predefinição:Nota de rodapé

Um espaço vetorial sobre um corpo Predefinição:Mvar é um conjunto Predefinição:Mvar munido de duas operações que satisfazem os oito axiomas abaixo.

• A primeira operação, chamada de adição de vetores ou simplesmente adição Predefinição:Math, leva quaisquer dois vetores Predefinição:Math e Predefinição:Math e associa a eles um terceiro vetor, normalmente escrito como Predefinição:Math, e chamado de soma dos dois vetores iniciais. (O vetor resultante também é um elemento de Predefinição:Mvar.)
• A segunda operação, chamada de multiplicação por escalar Predefinição:Math, toma qualquer escalar Predefinição:Mvar e qualquer vetor Predefinição:Math e fornece um outro vetor Predefinição:Math. (Similarmente, um vetor Predefinição:Math é um elemento do conjunto Predefinição:Mvar.)

Elementos de Predefinição:Mvar são normalmente denominados vetores. Elementos de Predefinição:Mvar são comumente denominados escalares.

Nos dois exemplos acima, o corpo utilizado é o corpo dos números reais e o conjunto de vetores consiste das setas planas com um ponto fixo de início e de pares de números reais, respectivamente.

Para qualificar um conjunto como sendo um espaço vetorial, ele Predefinição:Mvar e suas operações de adição e multiplicação devem obedecer às condições impostas a seguir, denominadas axiomas. Na lista abaixo, sejam Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math vetores arbitrários de Predefinição:Mvar, e Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar escalares em Predefinição:Mvar.

Axioma	Significado
Associatividade da adição	Predefinição:Math.
Comutatividade da adição	Predefinição:Math.
Elemento identidade da adição	Existe um elemento Predefinição:Math, denominado vetor nulo, tal que Predefinição:Math para todo Predefinição:Math.
Elemento inverso da adição	Para todo Predefinição:Math, existe um elemento Predefinição:Math, chamado de inverso aditivo de Predefinição:Math, tal que Predefinição:Math.
Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação do corpo	Predefinição:Math. Predefinição:Nota de rodapé
Elemento identidade da multiplicação por escalar	Predefinição:Math, em que Predefinição:Math denota a identidade multiplicativa em Predefinição:Mvar.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores	Predefinição:Math.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação a adição do corpo	Predefinição:Math.

Esses axiomas generalizam as propriedades dos vetores introduzidos nos exemplos acima. De fato, o resultado da adição de dois pares ordenados (como no segundo exemplo acima) não depende da ordem dos somandos:

Predefinição:Math.

Da mesma forma, no exemplo geométrico de vetores como setas, Predefinição:Math como o paralelogramo que define a soma dos vetores é independente da ordem dos vetores. Todos os outros axiomas podem ser verificados de forma semelhante nos outros exemplos. Portanto, ao ignorar a natureza concreta desse tipo particular de vetores, a definição incorpora esses dois exemplos e muitos outros em uma noção unificadora de espaço vetorial.

A subtração de dois vetores e a divisão por escalar (não nulo) pode ser definido como

$\begin{array}{cc}𝐯-𝐰& =𝐯+(-𝐰)\\ \frac{𝐯}{a}& =\frac{1}{a}𝐯\end{array}$.

Quando o corpo dos escalares Predefinição:Mvar é o dos números reais Predefinição:Math, o espaço vetorial é chamado de espaço vetorial real; quando for o dos números complexos Predefinição:Math, o espaço vetorial é chamado de espaço vetorial complexo. Esses dois casos são aqueles mais frequentemente utilizados em engenharia. A definição geral de espaço vetorial permite que os escalares sejam elementos de qualquer corpo fixo Predefinição:Mvar. A noção é então abstraída para um espaço vetorial sobre Predefinição:Mvar. Um corpo é, essencialmente, um conjunto de números que possui as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.Predefinição:Nota de rodapé Por exemplo, os números racionais formam um corpo.

Em contraste com a intuição provinda de vetores em um plano ou em outros objetos de dimensão maior, existe, em espaços vetoriais gerais, a noção de vizinhanças, ângulos e distâncias. Para lidar com essas questões, tipos particulares de espaços vetoriais são introduzidos.

Formulações alternativas e consequências elementares

A adição de vetores e a multiplicação por escalar são operações que satisfazem a propriedade de fechamento: Predefinição:Math e Predefinição:Math pertencem a Predefinição:Math para todo Predefinição:Math em Predefinição:Math, e Predefinição:Math, Predefinição:Math em Predefinição:Math. Algumas referências mais antigas mencionam essas propriedades como axiomas separados.

No linguajar da álgebra abstrata, os primeiros quatro axiomas são equivalentes a requerer que o conjunto de vetores seja um grupo abeliano sob adição. Os axiomas restantes dão a esse a estrutura de módulo sobre Predefinição:Math. Em outras palavras, existe um homomorfismo de anéis Predefinição:Math do corpo Predefinição:Math para o anel de endomorfismo do grupo de vetores. A multiplicação por escalar Predefinição:Math é então definida como Predefinição:Math.

Há várias outras consequências diretas dos axiomas de espaço vetorial. Algumas delas são derivadas teoria dos grupos elementar, aplicada ao grupo aditivo de vetores: por exemplo, o vetor nulo Predefinição:Math de Predefinição:Math e o inverso aditivo Predefinição:Math de um vetor Predefinição:Math são únicos. Outras propriedades seguem ao empregar também a lei de distributividade da multiplicação por escalar; por exemplo, Predefinição:Math é igual a Predefinição:Math se e somente se Predefinição:Math é igual a Predefinição:Math ou Predefinição:Math é igual a Predefinição:Math.

História

Predefinição:Artigo principal Espaços vetoriais têm sua origem no ramo da geometria afim, surgindo a partir da introdução de coordenadas no plano ou no espaço tridimensional. Por volta de 1636, os matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat forneceram as bases da geometria analítica ao identificar soluções de uma equação a duas variáveis com pontos em uma curva plana. Para obter soluções geométricas sem utilizar-se de coordenadas, Bolzano introduziu, em 1804, certas operações com pontos, linhas e planos; hoje, esses objetos podem ser vistos como antecessores de vetores. Esse trabalho foi utilizado por Möbius em 1827 para introduzir o conceito de coordenadas baricêntricas. A fundação para a definição de vetores foi a noção de Bellavitis de um "duplo ponto" ("bipoint"), um segmento orientado em que uma das extremidades é a origem e a outra é um alvo. Vetores foram repensados com a apresentação de números complexos por Argand e Hamilton, e pela criação dos quaterniões pelo último. Eles são elementos em R² e R⁴; o tratamento deles utilizando combinações lineares remete a Laguerre em 1867, que também definiu sistema de equações lineares.

Em 1857, Cayley introduziu a notação matricial que permitiu a harmonização e a simplificação de mapas lineares. Na mesma época, Grassmann estudou o cálculo baricêntrico iniciado por Möbius. Ele vislumbrou conjuntos de objetos abstratos munidos de certas operações. Em seu trabalho, os conceitos de independência linear e dimensão, bem como o de produtos escalares, estavam presentes. De fato, a obra de Grassmann de 1844 excede o escopo dos espaços vetoriais atuais, já que ele também considera multiplicação entre vetores, o que caracteriza o conceito moderno de álgebra. O matemático italiano Peano foi o primeiro a fornecer uma definição moderna de espaços vetoriais e de transformações lineares em 1888.

Um desenvolvimento importante dos espaços vetoriais foi a construção de espaços funcionais por Henri Lebesgue. Isso foi posteriormente formalizado por Banach e Hilbert, por volta de 1920. À época, a álgebra e o novo ramo da análise funcional começaram a interagir, notavelmente com conceitos-chave como os espaços de funções p-integráveis e os espaços de Hilbert. Também nessa época, iniciaram-se os primeiros estudos de espaços vetoriais de dimensão infinita.

Exemplos

Espaço do vetor nulo

Seja $V$ formado por um único elemento $a.$ Então, definindo-se $a+a=a$ e $k\cdot a=a$ para todo elemento $k$ de um corpo $K,$ temos que $V$ é um espaço vetorial com $K$ como corpo de escalares. Obviamente, como $a$ é o elemento neutro de $V,$ isto é, $a=0,$ este espaço vetorial é representado por $V=0.$

Espaços de coordenada

Predefinição:Artigo principal O exemplo mais simples de um espaço vetorial sobre um corpo Predefinição:Math é o próprio corpo, equipado com suas adição e multiplicação padrão. De forma mais geral, todas [[Énuplo|Predefinição:Math-uplas]] (sequências de comprimento Predefinição:Math)

Predefinição:Math

de elementos do corpo Predefinição:Math formam um espaço vetorial que é usualmente denotado por Predefinição:Math e chamado de espaço de coordenadas. O caso Predefinição:Math é o caso mais simples mencionado acima, no qual o corpo Predefinição:Math também é percebido como um espaço vetorial sobre si mesmo. O caso Predefinição:Math e Predefinição:Math foi discutido na introdução acima.

Números complexos e outras extensões de corpos

O conjunto de números complexos Predefinição:Math (isto é, números que podem ser escritos na forma Predefinição:Math, para números reais Predefinição:Math e Predefinição:Math, em que Predefinição:Math é a unidade imaginária) formam um espaço vetorial sobre os reais com a adição e a multiplicação definidas usualmente: Predefinição:Math e Predefinição:Math para números reais Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math. Os vários axiomas de um espaço vetorial seguem do fato de que as mesmas regras se mantêm para a aritmética dos números complexos.

De fato, o exemplo dos números complexos é essencialmente o mesmo (isto é, é isomórfico) ao espaço vetorial de pares ordenados de números reais mencionado acima: se pensarmos no número complexo Predefinição:Math como uma representação do par ordenado Predefinição:Math no plano complexo, então percebe-se que as regras de soma e multiplicação de escalares correspondem exatamente ao exemplo anterior.

De modo mais geral, extensões de corpo fornecem uma outra classe de exemplos de espaços vetoriais, particularmente em álgebras e em teoria algébrica dos números: um corpo Predefinição:Math que contém um corpo menor Predefinição:Math é um espaço vetorial em Predefinição:Math, pelas mesmas operações de adição e multiplicação definidas para Predefinição:Math. Por exemplo, os números complexos são um espaço vetorial sobre Predefinição:Math, e a extensão de corpo $𝐐(i\sqrt{5})$ é um espaço vetorial sobre Predefinição:Math.

Espaços funcionais

Adição de funções: a soma das funções seno e exponencial é $\sin +\exp :ℝ\to ℝ$ com $(\sin +\exp )(x)=\sin (x)+\exp (x)$

Funções de qualquer conjunto fixo Predefinição:Math para um corpo Predefinição:Math também formam espaços vetoriais, ao realizar adição e multiplicação por escalar ponto a ponto. Ou seja, a soma de duas funções Predefinição:Math e Predefinição:Math é a função Predefinição:Math dada por

Predefinição:Math,

e de modo semelhante para a multiplicação. Espaços funcionais desse tipo surgem em várias situações geométricas, quando Predefinição:Math é a reta real ou um intervalo, ou outros subconjuntos de Predefinição:Math. Muitas noções em topologia e análise, como continuidade, integrabilidade ou diferenciabilidade são bem comportadas em relação à linearidade: somas e múltiplos escalares de funções com essas propriedades ainda as preservam. Portanto, o conjunto dessas funções é um espaço vetorial. Elas são estudadas em maior detalhe usando métodos de análise funcional. Restrições algébricas também geram espaços vetoriais: o [[Anel de polinômios|espaço vetorial Predefinição:Math]] é dado por funções polinomiais:

Predefinição:Math, em que os coeficientes Predefinição:Math estão em Predefinição:Math.

Equações lineares

Predefinição:AP Sistemas de equações lineares homogêneas estão proximamente relacionados com os espaços vetoriais vector spaces. Por exemplo, as soluções de

Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math
Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math	Predefinição:Math

são dadas por triplas com Predefinição:Math arbitrário, de modo que Predefinição:Math e Predefinição:Math. Elas formam um espaço vetorial: somas e múltiplos escalares de tais triplas precisam também satisfazer às mesmas razões entre as três variáveis; logo, elas também são soluções. Matrizes podem ser usadas para condensar várias equações lineares como acima em uma equação vetorial, a saber

Predefinição:Math,

em que Predefinição:Math $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 4& 2& 2\end{array}\right]$ é a matriz que contém os coeficientes das equações que compõem o sistema, Predefinição:Math é o vetor Predefinição:Math, Predefinição:Math denota um produto matricial, e Predefinição:Math é o vetor nulo. De forma semelhante, as soluções de equações diferenciais lineares homogêneas formam espaços vetoriais. Por exemplo,

Predefinição:Math

implica que Predefinição:Math, em que Predefinição:Math e Predefinição:Math são constantes arbitrárias, e Predefinição:Math é a função exponencial.

Base e dimensão

Um vetor Predefinição:Math em Predefinição:Math (azul) expressado em termos de duas bases distintas: usando a base canônica de Predefinição:Math (preto), e usando uma base não ortogonal: Predefinição:Math (vermelho).

Bases permitem representar vetores como uma sequência de escalares denominados coordenadas ou componentes. Uma base é um conjunto (finito ou infinito) Predefinição:Math de vetores Predefinição:Math, que por conveniência são frequentemente indexados por um conjunto de índices Predefinição:Math, que gera todo o espaço é linearmente independente. "Gerar todo o espaço" significa que qualquer vetor Predefinição:Math pode ser expresso por uma soma finita (chamada de combinação linear) dos elementos da base: Predefinição:NumBlk em que Predefinição:Math são escalares, chamados de coordenadas (ou de componentes) do vetor Predefinição:Math em relação à base Predefinição:Math, e Predefinição:Math Predefinição:Math são os elementos de Predefinição:Math. Independência linear significa que as coordenadas Predefinição:Math são univocamente determinadas para qualquer vetor no espaço vetorial.

Por exemplo, os vetores de coordenadas Predefinição:Math, Predefinição:Math, até Predefinição:Math, formam uma base de Predefinição:Math, chamada de base canônica, já que qualquer vetor Predefinição:Math pode ser expresso de forma única como uma combinação linear desses vetores:

Predefinição:Math.

As coordenadas correspondentes Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math são exatamente as coordenadas cartesianas de um vetor.

Todo espaço vetorial possui uma base. Isso é uma consequência do lema de Zorn, uma formulação equivalente do axioma da escolha. Dados os outros axiomas da teoria de conjuntos de Zermelo–Fraenkel, a existência de bases é equivalente ao axioma da escolha. O teorema do ultrafiltro, que é mais fraco do que o axioma da escolha, implica que todas as bases de um determinado espaço vetorial têm o mesmo número de elementos, ou cardinalidade (ver Teorema da dimensão para espaços vetoriais). Ela é chamada de dimensão do espaço vetorial, e é denotada por dim V. Se o espaço for gerado por um número finito de vetores, os enunciados acima podem ser provados sem um enfoque tão fundamental quanto o da teoria de conjuntos.

A dimensão do espaço de coordenadas Predefinição:Math é Predefinição:Math, pelo que foi exibido acima. A dimensão do anel de polinômios K[x] introduzida acima é enumeravelmente infinita, sendo que uma base é Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math A fortiori, a dimensão de espaços funcionais mais gerais, tal como o espaço de funções em um intervalo (limitado ou ilimitado), é infinita.Predefinição:Nota de rodapé Sob suposições adequadas de regularidade dos coeficientes envolvidos, a dimensão do espaço de solução de uma equação diferencial ordinária homogênea é igual ao grau da equação. Por exemplo, os espaço de soluções da equação acima é gerado por Predefinição:Math e {{xe^−x}}. Essas duas funções são linearmente independentes sobre os reais Predefinição:Math, de modo que a dimensão do espaço gerado seja 2, assim como o grau da equação.

Uma extensão de corpo sobre os racionais Predefinição:Math pode ser pensada como um espaço vetorial sobre Predefinição:Math (ao definir a soma de vetores como a soma de elementos do corpo, e definir a multiplicação por escalar como a multiplicação por elementos de Predefinição:Math, e por outro lado ignorando a multiplicação do corpo). A dimensão (ou grau) da extensão de corpo Predefinição:Math sobre Predefinição:Math depende de Predefinição:Math. Se Predefinição:Math satisfaz algumas equação polinomial $$q_n{\alpha }^n+q_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\dots +q_0=0$$ com coeficientes racionais Predefinição:Math (em outras palavras, se α é um número algébrico), a dimensão é finita. Mais precisamente, é igual ao grau do polinômio mínimo que tem α como raiz. Por exemplo, os números complexos C são um espaço vetorial real bidimensional, gerados por 1 e pela unidade imaginária i. A unidade imaginária satisfaz i² + 1 = 0, uma equação de grau 2. Portanto, C é um espaço vetorial bidimensional sobre R (e, como qualquer corpo, unidimensional como um espaço vetorial sobre si mesmo, C). Se α não for algébrico, a dimensão de Q(α) sobre Q é infinita. De fato, para α = π não existe tal equação; em outras palavras, π é um número transcendental.

Aplicações lineares e matrizes

Predefinição:Artigo principal A relação entre dois espaços vetoriais pode ser expressa como um mapeamento linear ou uma transformação linear. Elas são funções que refletem a estrutura do espaço vetorial — isto é, elas preservam soma e multiplicação por escalar:

$f(𝐯+𝐰)=f(𝐯)+f(𝐰)$ e Predefinição:Math $=$ Predefinição:Math para todo Predefinição:Math e Predefinição:Math em Predefinição:Math, e todo Predefinição:Math em Predefinição:Math.

Um isomorfismo é uma transformação linear Predefinição:Math tal que exista uma função inversa Predefinição:Math, a qual é um mapeamento tal que as duas possíveis composições Predefinição:Math e Predefinição:Math sejam a função identidade. De forma equivalente, Predefinição:Math é um-pra-um (injetora) e é sobre o contradomínio (sobrejetora). Se existir um isomorfismo entre Predefinição:Math e Predefinição:Math, os dois espaços são ditos isomórficos; eles então são essencialmente o mesmo espaço vetorial, já que todas as identidades válidas em Predefinição:Math são, através de Predefinição:Math, levadas a identidades semelhantes em Predefinição:Math, e vice-versa através de Predefinição:Math.

Descrever um vetor de seta Predefinição:Math pelas suas coordenadas Predefinição:Math e Predefinição:Math acarreta um isomorfismo de espaços vetoriais.

Por exemplo, as "setas em um plano" e os "pares ordenados de números", que são cada qual um espaço vetorial, são isomórficos: uma seta Predefinição:Math em um plano que sai da origem de algum sistema (fixo) de coordenadas pode ser expresso por um par ordenado de números ao considerar as componentes Predefinição:Math e Predefinição:Math da seta, como mostrado na imagem ao lado. Por outro lado, dado um par Predefinição:Math, a seta que está à direita pela quantidade Predefinição:Math (ou à esquerda, se Predefinição:Math for negativo), e está para cima pela quantidade Predefinição:Math (ou para baixo, se Predefinição:Math for negativo) retorna a seta Predefinição:Math.

As transformações lineares Predefinição:Math entre dois espaços vetoriais formam um espaço vetorial Predefinição:Math, também denotado por Predefinição:Math. O espaço das transformações lineares de Predefinição:Math para o corpo Predefinição:Math é chamado de espaço dual, e é denotado por Predefinição:Math. Através do mapa natural injetivo Predefinição:Math, qualquer espaço vetorial pode ser embutido no seu bidual; o mapeamento é um isoformismo se e somente se o espaço tem dimensão finita.

Uma vez que uma base de Predefinição:Math é escolhida, as transformações lineares Predefinição:Math ficam completamente determinadas ao se especificar a imagem dos vetores da base, já que qualquer elemento de Predefinição:Math é escrito de forma única como combinação linear desses vetores. Se Predefinição:Math, uma correspondência 1-para-1 entre as bases fixadas de Predefinição:Math e Predefinição:Math acarreta uma aplicação linear que mapeia qualquer elemento da base de Predefinição:Math ao elemento correspondente da base de Predefinição:Math; isto é, por definição, um isomorfismo. Logo, dois espaços vetoriais são isomórficos se as suas dimensões são as mesmas. Outra forma de expressar isso é que qualquer espaço vetorial é completamente classificado (a menos de um isomorfismo) pela sua dimensão, um único número. Em particular, qualquer espaço vetorial n-dimensional Predefinição:Math de tipo Predefinição:Math é isomórfico a Predefinição:Math. Não existe, no entanto, nenhum isomorfismo "canônico" ou preferencial; de fato, um isomorfismo Predefinição:Math é equivalente à escolha da base de Predefinição:Math, ao mapear os vetores da base canônica de Predefinição:Math para Predefinição:Math, através de Predefinição:Math. A liberdade em escolher uma base conveniente é particularmente útil no contexto de dimensão infinita.

Matrizes

Uma matriz típica.

Matrizes são uma noção útil para representar transformações lineares. Elas são escritas como uma tabela retangular de escalares (imagem ao lado). Qualquer matriz Predefinição:Math Predefinição:Math-por-Predefinição:Math gera um mapeamento linear de Predefinição:Math para Predefinição:Math da seguinte maneira:

$𝐱=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\mapsto (\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{x}_j,\sum _{j=1}^n{a}_{2j}{x}_j,\cdots ,\sum _{j=1}^n{a}_{mj}{x}_j)$, em que $\sum$ denota um somatório,

ou, usando multiplicação de matrizes de Predefinição:Math com o vetor de coordenadas Predefinição:Math:

Predefinição:Math.

Ademais, após escolher bases de Predefinição:Math e de Predefinição:Math, qualquer transformação linear Predefinição:Math é representada de forma única por uma matriz através desse procedimento.

O volume desse paralelepípedo é o valor absoluto do determinante da matriz 3-por-3 formada pelos vetores Predefinição:Math, Predefinição:Math, e Predefinição:Math.

O determinante Predefinição:Math de uma matriz quadrada Predefinição:Math é um escalar que diz se o mapeamento associado à matriz é um isomorfismo ou não: para isso, é suficiente e necessário que o determinante seja não nulo. A transformação linear de Predefinição:Math que corresponde a uma matriz n-by-n real preserva a orientação se e somente se seu determinante for positivo.

Autovetores e autovalores

Predefinição:Artigo principal Endomorfismos, aplicações lineares do tipo Predefinição:Math, são particularmente importantes já que nesse caso vetores Predefinição:Math podem ser comparados com a sua imagem sob Predefinição:Math, Predefinição:Math. Qualquer vetor não nulo Predefinição:Math que satisfaz a condição Predefinição:Math, em que Predefinição:Math é um escalar, é denominado autovetor de Predefinição:Math com autovalor Predefinição:Math. De maneira equivalente, Predefinição:Math é um elemento do núcleo da diferença Predefinição:Math (em que Id é a função identidade Predefinição:Math). Se Predefinição:Math tem dimensão finita, essa afirmação pode ser reformulada usando determinantes: Predefinição:Math ter um autovalor Predefinição:Math é equivalente a

Predefinição:Math.

Ao desenvolvê-la através da definição de determinante, a expressão à esquerda pode ser analisada enquanto função polinomial de variável Predefinição:Math, chamada de polinômio característico de Predefinição:Math. Se o corpo Predefinição:Math for abrangente o suficiente para conter uma raiz desse polinômio (o que acontece automaticamente quando Predefinição:Math for algebricamente fechado, tal como Predefinição:Math), qualquer aplicação linear tem pelo menos um autovetor. O espaço vetorial Predefinição:Math pode ou não possuir uma base de autovetores. Esse fenômeno é regido pela forma canônica de Jordan da aplicação.Predefinição:Nota de rodapé O conjunto de todos os autovetores associados a um certo autovalor de Predefinição:Math forma um espaço vetorial conhecido como autoespaço. Para alcançar o teorema espectral, a afirmação correspondente do caso em que a dimensão é infinita, as ferramentas da análise funcional são necessárias.

Construções básicas

Além dos exemplos concretos citados anteriormente, existem várias construções de álgebra linear padrão que acarretam espaços vetoriais a outros previamente fornecidos. Eles também são caracterizados pelas propriedades universais, que determinam um objeto Predefinição:Math ao especificar as transformações lineares dele para qualquer outro espaço vetorial.

Subespaços e espaços quociente

Predefinição:Artigo principal [[File:Linear subspaces with shading.svg|thumb|250px|right|Uma linha que passa pela origem (em azul, linha mais grossa) em [[Espaço euclidiano|Predefinição:Math]] é um subespaço vetorial. Ela é a interseção de dois planos (verde e amarelo).]]

Um subconjunto não-vazio W de um espaço vetorial V que é fechado sob adição e multiplicação por escalar (e portanto contém o vetor nulo 0 de V) é chamado de subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, quando o objeto em questão for, de forma não ambígua, um espaço vetorial.Predefinição:Nota de rodapé Subespaços de V são espaços vetoriais próprios (sobre o mesmo corpo). A interseção de todos os subespaços contendo um determinado conjunto S de vetores é denominado como seu espaço vetorial gerado (ou, ainda, ger ou span), e é o menor subespaço de V contendo o conjunto S. Expressado em termos de elementos, o span é o subespaço que contém todas as combinações lineares dos elementos de S.

Predefinição:Anchor Um subespaço vetorial de dimensão 1 é uma linha vetorial. Um subespaço de dimensão 2 é um plano vetorial. Um subespaço vetorial que contém todos a menos de um dos elementos de uma base do espaço principal é um hiperplano vetorial. Em um espaço vetorial de dimensão finita Predefinição:Math, um hiperplano de vetores é portanto um subespaço de dimensão Predefinição:Math.

A contrapartida dos subespaços são os espaços vetoriais quocientes. Dado qualquer subespaço Predefinição:Math, o espaço quociente V/W ("V módulo W") é definido da seguinte maneira: enquanto conjunto, ele consiste de Predefinição:Math em que v é um vetor arbitrário em V; enquanto espaço vetorial, a soma de dois elementos desse tipo Predefinição:Math e Predefinição:Math é dada por Predefinição:Math e a multiplicação por escalar obedece a relação Predefinição:Math. A questão chave dessa definição é que Predefinição:Math se e somente se a diferença de v₁ e v₂ estiver em W.Predefinição:Nota de rodapé Dessa maneira, o espaço quociente "esquece" da informação contida no subespaço W.

O núcleo ker(f) (do inglês, kernel) de uma transformação linear Predefinição:Math consiste em vetores v que são mapeados para o vetor 0 em W (o vetor nulo de W). Tanto o núcleo quanto a imagem Predefinição:Math são subespaços de V e W, respectivamente. A existência de núcleos e imagens é parte do enunciado de que a categoria de espaços vetoriais (sobre um corpo fixo K) é uma categoria abeliana, isto é, um corpo de objetos matemáticos e de transformações que preservem a estrutura entre eles (uma categoria), que se comporta de forma muito semelhante a uma categoria de grupos abelianos. Por causa disso, enunciados como o teorema do núcleo e da imagem (também chamado de teorema do posto e da nulidade, no contexto de matrizes),

V / ker(f) ≡ im(f),

podem ser formulados e provados de uma maneira similar ao que se faria para demonstrar enunciados equivalentes para grupos.

Um exemplo importante é o do núcleo da transformação linear Predefinição:Math para alguma matriz fixa A. O núcleo dessa aplicação é o subespaço dos vetores x tais que Predefinição:Math, que é exatamente o conjunto das soluções do sistema de equações lineares homogêneas associadas a A. Esse conceito também se estende para equações diferenciais lineares, cuja forma geral é

$a_{0}f+a_1\frac{df}{dx}+a_2\frac{d^{2}f}{d{x}^2}+\cdots +a_n\frac{d^{n}f}{d{x}^n}=0$, em que os coeficientes a_i são também funções de x.

Na transformação linear correspondente

$f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^n{a}_i\frac{d^{i}f}{d{x}^i}$,

as derivadas da função f aparecem de forma linear (ao contrário de f′′(x)², por exemplo). Como a diferenciação é um procedimento linear (isto é, Predefinição:Math e Predefinição:Math para uma constante Predefinição:Math), essa transformação também é linear, denominada um operador diferencial linear. Em particular, as soluções da equação diferencial Predefinição:Math formam um espaço vetorial (sobre Predefinição:Math ou sobre Predefinição:Math).

Produto direto e soma direta

Predefinição:Artigo principal O produto direto de espaços vetoriais e a soma direta de espaços vetoriais são duas maneiras de combinar uma família indexada de espaços vetoriais em um novo espaço vetorial.

O produto direto $\prod _{i\in I}{V}_i$ de uma família de espaços vetoriais V_i consiste em um conjunto de todas as ênuplas (Predefinição:Math, que especificam para cada índice i em algum conjunto de índices I um elemento v_i de V_i. Adição e multiplicação por escalar são realizadas componente a componente. Uma variação dessa construção é a soma direta ${\oplus }_{i\in I}{V}_i$ (também chamada coproduto e denotada por $\coprod _{i\in I}{V}_i$), em que somente as ênuplas com um número finito de vetores nulos são permitidas. Se o conjunto de índices I é finito, as duas construções são a mesma; porém, de forma mais geral, elas são distintas.

Produto tensorial

Predefinição:Artigo principal O produto tensorial Predefinição:Math, ou simplesmente Predefinição:Math, de dois espaços vetoriais V e W é uma das noções centrais da álgebra multilinear, que lida com noções estendidas como a de transformações lineares a várias variáveis. Um mapeamento Predefinição:Math é chamado de bilinear se g é linear em ambas as variáveis v e w. Isto é, para um w fixo o mapa Predefinição:Math é linear no sentido acima; isso então também é válido para um v fixo.

O produto tensorial é um espaço vetorial particular que é um receptor universal de mapeamentos bilineares g, como a seguir. Ele é definido como um espaço vetorial que consiste de somas (formais) finitas de símbolos chamados de tensores

v₁ ⊗ w₁ + v₂ ⊗ w₂ + ... + v_n ⊗ w_n,

sujeitos às regras

a · (v ⊗ w) = (a · v) ⊗ w = v ⊗ (a · w), em que a é um escalar,

(v₁ + v₂) ⊗ w = v₁ ⊗ w + v₂ ⊗ w, e

v ⊗ (w₁ + w₂) = v ⊗ w₁ + v ⊗ w₂.

Diagrama comutativo evidenciando a propriedade universal do produto tensorial.

Essas regras garantem que o mapa f de Predefinição:Math para Predefinição:Math, que envia a ênupla Predefinição:Math para Predefinição:Math, seja bilinear. A universalidade enuncia que dado qualquer espaço vetorial X e qualquer mapa bilinear Predefinição:Math, existe um mapa único u, mostrado no diagrama com uma seta pontilhada, cuja composição com f é igual a g: Predefinição:Math. Isso é chamado de propriedade universal do produto tensorial, uma ocorrência do método — muito utilizado em álgebra abstrata avançada — de indiretamente definir objetos ao especificar mapas de ou para esse objeto.

Espaços vetoriais com estrutura adicional

Do ponto de vista da álgebra linear, os espaços vetoriais são completamente compreendidos na medida em que qualquer espaço vetorial é caracterizado, de modo isomórfico, pela sua dimensão. Contudo, espaços vetoriais por si só não oferecem um escopo no qual é possível responder à questão Predefinição:Mdash essencial para análise Predefinição:Mdash de quando, ou se, uma série de funções converge para outra função. Da mesma forma, a álgebra linear não é adaptada para lidar com séries infinitas, já que a operação de adição permite somente a soma de um número finito de termos. Assim, as demandas do ramo da análise funcional fazem com que sejam considerados espaços vetoriais com estrutura adicional.

Um espaço vetorial pode ser parcialmente ordenado ≤, de modo que certos vetores possam ser comparados. Por exemplo, um espaço vetorial real n-dimensional Rⁿ pode ser ordenado ao se comparar os vetores componente à componente. Espaços vetoriais ordenados, como os espaços de Riesz, são fundamentais para a formulação da integral de Lebesgue, que requer que uma função qualquer seja expressa como a diferença de duas funções positivas

f = f⁺ − f⁻,

em que f⁺ denota a parte positiva de f e f⁻ a parte negativa.

Espaços vetoriais normados e com produto interno

Predefinição:Artigo principal O processo de "medida" de vetores é feito ao se especificar uma norma, uma função que mede o comprimento de um vetor, ou definindo um produto interno, que mede ângulos entre vetores. Normas e produtos internos são denotados por $|𝐯|$ e $⟨𝐯,𝐰⟩$, respectivamente. Espaços vetoriais dotados dessa estrutura são denominados espaços vetoriais normados e espaços com produto interno, respectivamente. É possível obter uma norma a partir de um produto interno, definindo-a como $|𝐯|:=\sqrt{⟨𝐯,𝐯⟩}$.

O espaço de coordenadas Kⁿ pode ser equipado com o produto escalar canônico:

$⟨𝐱,𝐲⟩=𝐱\cdot 𝐲=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n.$

Em R², isso reflete a noção comum de ângulo entre dois vetores x e y, pela lei dos cossenos:

$𝐱\cdot 𝐲=\cos (\mathrm{\angle }(𝐱,𝐲))\cdot |𝐱|\cdot |𝐲|.$

Por causa disso, dois vetores que satisfaçam $⟨𝐱,𝐲⟩=0$ são chamados de ortogonais. Uma variante importante do produto interno padrão é usado no espaço de Minkowski; isto é, o espaço R⁴ dotado do produto de Lorentz

$⟨𝐱|𝐲⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3-x_4{y}_4.$

Em contraste com o produto escalar padrão, ele não é positivo definido: $⟨𝐱|𝐱⟩$ também pode assumir valores negativos, como por exemplo para $𝐱=(0,0,0,1)$. Isolar a quarta temporada Predefinição:Mdash correspondente ao tempo, em vez das três dimensões espaciais Predefinição:Mdash é útil para o tratamento matemático da relatividade restrita.

Espaços vetoriais topológicos

Predefinição:Artigo principal Questões de convergência são tratadas ao considerar espaços vetoriais que comportem uma topologia compatível, uma estrutura que permite descrever pontos como sendo próximos uns dos outros. A compatibilidade significa que a adição e a multiplicação por escalar precisam ser mapas contínuos. Em resumo, se x e y em um espaço vetorial V e a no corpo K variarem por uma quantidade limitada, então Predefinição:Math e Predefinição:Math variam limitadamente.Predefinição:Nota de rodapé Para dar sentido em especificar o quanto um escalar varia, o corpo K também precisa carregar uma topologia nesse contexto; opções comuns de corpos são o dos números reais e o dos números complexos.

Nesses espaços vetoriais topológicos é possível considerar série de vetores. A soma infinita

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i$

denota o limite das somas parciais finitas correspondentes da sequência (f_i)_i∈N de elementos de V. Por exemplo, os elementos f_i podem ser funções (reais ou complexas) pertencentes a algum espaço funcional V, de modo que a soma infinita seja uma série de funções. O modo de convergência da série é dependente da topologia imposta ao espaço funcional. Nesses casos, convergência pontual e convergência uniforme são dois exemplos proeminentes.

"Esferas" unitárias no R² consistindo de vetores planos de norma 1. Estão ilustradas esferas em diferentes p-normas, para p = 1, 2, e ∞. O diamante maior representa pontos com 1-norma igual a 2.

Uma maneira de garantir a existência de limites de certas séries infinitas é restringir o estudo a espaços onde qualquer sequência de Cauchy possui limite; tais espaços vetoriais são denominados completos. Simplificadamente, um espaço vetorial é dito completo contanto que contenha todos os limites necessários; o espaço vetorial dos polinômios nos intervalo unitário [0,1], equipado com a topologia de convergência uniforme, não é completo, pois qualquer função contínua em [0,1] pode ser uniformemente aproximada por uma sequência de polinômios (Teorema de Stone-Weierstrass). Em contraste, o espaço de todas as funções contínuas em [0,1] equipado com a mesma topologia é completo. Uma norma acarreta uma topologia ao definir que uma sequência de vetores v_n convirja para v se e somente se

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|{𝐯}_n-𝐯|=0.$

Espaços de Banach e Hilbert são espaços vetoriais topológicos completos cujas topologias são fornecidas, respectivamente, por uma norma e por um produto interno. O estudo deles Predefinição:Mdash uma peça-chave da análise funcional Predefinição:Mdash tem como foco espaços vetoriais de dimensão infinita, já que todas as normas em espaços topológicos de dimensão finita fornecem a mesma noção de convergência. A imagem à direita mostra a equivalência da 1-norma e da ∞-norma no R²: com as "bolas" unitárias englobando-se umas às outras, uma sequência converge a zero em uma norma se e somente se o fizer em uma outra norma. No caso de dimensão infinita, entretanto, em geral existirão topologias não equivalentes, o que faz com que o estudo espaços vetoriais topológicos seja mais rico do que o de espaços vetoriais sem essa estrutura adicional.

De um ponto de vista conceitual, todas as noções relacionadas a espaços vetoriais topológicos devem ser compatíveis com a topologia associada. Por exemplo, ao invés de considerar todas as transformações lineares (também chamadas de funcionais) Predefinição:Math, exige-se que mapas entre espaços vetoriais topológicos sejam contínuos. Em particular, o espaço dual (topológico) Predefinição:Math consiste dos funcionais contínuos Predefinição:Math (ou para Predefinição:Math). O teorema de Hahn-Banach tem por objetivo a separação de subespaços de espaços vetoriais topológicos adequados por funcionais contínuos.

Espaços de Banach

Predefinição:Artigo principal Espaços de Banach, introduzidos por Stefan Banach, são espaços vetoriais normados completos.

Um primeiro exemplo é o espaço vetorial ${\ell }^p$ composto de vetores com infinitas entradas reais $𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots )$, cuja $p$-norma $(1\le p\le \mathrm{\infty })$ dado por

${\Vert 𝐱\Vert }_p:={\left(\sum _i{\left|x_i\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$ para $p<\mathrm{\infty }$   e    ${\Vert 𝐱\Vert }_{\mathrm{\infty }}:={\text{sup}}_i\left|x_i\right|$.

As topologias do espaço ${\ell }^p$ de dimensão infinita não são equivalentes para diferentes valores de $p$. Como exemplo, a sequência de vetores ${𝐱}_n=(2^{-n},2^{-n},\dots ,2^{-n},0,0,\dots )$, em que as primeiras $2^n$ componentes são $2^{-n}$ e as seguintes são $0$, converge para o vetor nulo para $p=\mathrm{\infty }$, mas não para $p=1$:

${\Vert {𝐱}_n\Vert }_{{}_{\mathrm{\infty }}}=\sup (2^{-n},0)=2^{-n}\to 0$, mas ${\Vert {𝐱}_n\Vert }_1=\sum _{i=1}^{2^n}{2}^{-n}=2^n\cdot 2^{-n}=1.$

De forma mais geral do que sequências de números reais, funções $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ são equipados com uma norma que substitui a soma acima pela integral de Lebesgue

${\Vert f\Vert }_p:={\left(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\left|f\left(x\right)\right|}^{p}d\mu \left(x\right)\right)}^{\frac{1}{p}}.$

O espaço das funções integráveis em um dado domínio $\mathrm{\Omega }$ (por exemplo um intervalo) satisfazendo ${\Vert f\Vert }_p<\mathrm{\infty }$, e equipado com essa norma são chamados de espaços de Lebesgue, denotados como $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$.Predefinição:Nota de rodapé

Esses espaços são completos. (Se, ao invés disso, a integral de Riemann for utilizada, o espaço não é completo, o que pode ser percebido como uma justificativa para a teoria de integração de Lebesgue.) Concretamente, isso significa que para qualquer sequência de funções do integráveis por Lebesgue    $f_1,f_2,\dots ,f_n,\dots$   com ${\Vert f_n\Vert }_p<\mathrm{\infty }$, satisfazendo a condição

$\underset{k,n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{|f_k(x)-f_n(x)|}^{p}d\mu \left(x\right)=0$.

Existe uma função $f\left(x\right)$ pertencente ao espaço vetorial $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ tal que

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{|f\left(x\right)-f_k\left(x\right)|}^{p}d\mu \left(x\right)=0.$

Impondo condições de limitação não somente à função, mas também às suas derivadas resulta nos espaços de Sobolev.

Espaços de Hilbert

As imagens sucessivas mostram a soma de 1 a 5 termos na aproximação de uma função periódica (azul) por uma soma finita de funções seno (vermelho).

Espaços com produto interno completo são conhecidos como espaços de Hilbert, em homenagem a David Hilbert. O espaço de Hilbert L²(Ω), com produto interno dado por

$⟨f,g⟩=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)\overline{g(x)}dx,$

em que $\overline{g(x)}$ denota o conjugado complexo de g(x),Predefinição:Nota de rodapé é um caso chave.

Por definição, em um espaço de Hilbert qualquer sequência de Cauchy converge para um limite. Dessa forma, encontrar uma sequência de funções f_n com propriedades desejáveis que aproxime uma dada função limite torna-se crucial. O início da análise, na forma da aproximação de Taylor, estabeleceu uma aproximação de funções diferenciáveis por polinômios. Pelo teorema de Stone-Weierstrass, toda função contínua em um intervalo Predefinição:Math pode ser aproximada tão bem quanto desejado por um polinômio. Uma técnica de aproximação semelhante feita com funções trigonométricas é comumente chamada de expansão de Fourier, e é muito aplicada em engenharia. De forma mais geral, e mais conceitual, o teorema permite uma descrição simples de quais "funções básicas", ou, no contexto de espaços abstratos de Hilbert, quais vetores básicos são suficientes para gerar o espaço de Hilbert H, no sentido de que o fecho do span desses vetores (isto é, combinações lineares finitas e seus limites) é o espaço inteiro. Tal conjunto de funções é chamada de uma base de H, sua cardinalidade é conhecida como a dimensão do espaço de Hilbert.Predefinição:Nota de rodapé O teorema não apenas mostra funções adequadas para uma base como suficiente para fazer aproximações, mas também, aliado ao processo de Gram-Schmidt, permite a construção de uma base ortogonal de vetores. Tais bases ortogonais são a generalização em espaços de Hilbert dos eixos de coordenadas em espaços euclidianos, de dimensão finita.

As soluções para várias equações diferenciais podem ser interpretadas em termos de espaços de Hilbert. Por exemplo, muitas áreas da física e da engenharia deparam-se com tais equações e frequentemente soluções com propriedades físicas particulares são utilizadas como funções de uma base, por vezes ortogonal. Na física quântica, a equação de Schrödinger dependente do tempo descreve a mudança de propriedades físicas como função do tempo através de uma equação diferencial parcial, cujas soluções são chamadas de funções de onda. Valores definidos de grandezas físicas como energia e momento correspondem a autovalores de um certo operador diferencial linear e as funções de onda associadas são chamadas de autoestados. O teorema espectral decompõe um operador linear compacto que atua sobre uma função em termos dessas autofunções e desses autovalores.

Propriedades

• Se $v\in V,$ então $0\cdot v=0.$ Isto é assim porque

  $0=0\cdot v-0\cdot v=(0-0)\cdot v=0\cdot v.$

• Se $v$ ∈ $V,$ $(-1)\cdot v=-v.$ Isto é assim porque

  $(-1)\cdot v+v=(-1)\cdot v+1\cdot v=((-1)+1)\cdot v=0\cdot v=0.$

• Se $a$ ∈ $K$ e $v$ ∈ $V,$ então $a\cdot (-v)=-(a\cdot v).$ Isto é assim porque

  $a\cdot (-v)+a\cdot v=a\cdot (-v+v)=a\cdot 0=0.$

Terminologia

• Um espaço vetorial sobre $ℝ,$ o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
• Um espaço vetorial sobre $ℂ,$ o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
• Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.

Tipos de espaços vectoriais

• Espaço Vectorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno.
• Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo.
• Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida
• Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma.
• Espaço vectorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vectorial.

Ver também

• Base de um Espaço Vetorial
• Subespaço vetorial
• Módulo (álgebra): a generalização de espaço vetorial, quando o conjunto dos escalares é um anel
• Álgebra sobre um corpo: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas

Bibliografia

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Álgebra

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Análise

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Referências históricas

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Ligações externas

• Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 242 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.

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