Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach é um dos principais resultados da Análise Funcional na Matemática. O Teorema apresenta condições para que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos para todo o espaço. Aplicado para espaços normados, garante que exista um determinado funcional linear, contribuindo para a Teoria de Espaços Duais, que representa uma importante área da Teoria de Espaços Normados.

O Teorema foi inicialmente deduzido por H. Hahn (1927). Foi então apresentado em sua forma geral por Stefan Banach (1929) e generalizado para espaços vetoriais complexos por H. F. Bohnenblust e A. Sobczyk (1938).

Resultados Preliminares

Conjunto parcialmente ordenado

Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto $M$ no qual é definida uma ordem parcial, ou seja, uma relação binária representada por $\le$ que satisfaz as seguintes condições:

• $a\le a$ para todo $a\in M$;
• Se $a\le b$ e $b\le a$, então $a=b$;
• Se $a\le b$ e $b\le c$, então $a\le c$.

Lema de Zorn

O Lema de Zorn é um axioma da Teoria dos Conjuntos, equivalente ao Axioma da Escolha. O lema pode ser apresentado como: se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.

Extensão

Seja um objeto matemático (por exemplo, uma transformação linear) definido em um subconjunto $Z$ de um conjunto $X$. Uma extensão busca definir o objeto em todo o conjunto $X$, preservando determinadas propriedades válidas no subconjunto $Z$.

No teorema de Hahn-Banach, o objeto a ser estendido é um funcional linear f definido em um subespaço $Z$ de um espaço vetorial $X$.

Funcional Sublinear

Um funcional sublinear é uma função $p$ de valor real definida em um espaço vetorial X com as seguintes propriedades:

• $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ para todo $x,y\in X$;
• $p(\alpha x)=\alpha x$ para todo $\alpha \ge 0$, $\alpha \in \mathrm{R}$ e para todo $x\in X$.

Enunciado do Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach pode ser assim enunciado:

"Seja $X$ um espaço vetorial no campo dos número reais e $p$ um funcional sublinear em $X$. Seja ainda $f$ um funcional linear definido em um subespaço $Z$ de $X$ que satisfaça $f(x)\le p(x)$ para todo $x\in Z$. Então $f$ possui uma extensão linear $\tilde{f}$ de $Z$ para $X$, ou seja, $f$ satisfaz $\tilde{f}(x)=f(x)$ para todo $x\in Z$ e $\tilde{f}(x)\le p(x)$ para todo $x\in X$."

Demonstração

A demonstração pode ser encontrada em . Em termos gerais, inicialmente demonstra-se que o conjunto $E$ de todas as extensões lineares $g$ de $f$ que satisfazem $g(x)\le p(x)$ pode ser parcialmente ordenado. Então, pelo Lema de Zorn, existe um elemento maximal $\tilde{f}$ de $E$. Em seguida, define-se $\tilde{f}$ em todo o espaço $X$.

Outras Versões do Teorema

Espaços Vetoriais Complexos

O Teorema de Hahn-Banach para espaços vetoriais complexos pode ser enunciado da seguinte forma:

"Seja $X$ um espaço vetorial no campo dos número reais ou dos números complexos e $p$ um funcional em $X$ de valor real que satisfaça as seguintes condições:

• $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ para todo $x,y\in X$;
• $p(\alpha x)=|\alpha |x$ para todo $\alpha$ escalar e para todo $x\in X$.

Seja ainda $f$ um funcional linear definido em um subespaço $Z$ de $X$ que satisfaça $|f(x)|\le p(x)$ para todo $x\in Z$. Então $f$ possui uma extensão linear $\tilde{f}$ de $Z$ para $X$, ou seja, $f$ satisfaz $\tilde{f}(x)=f(x)$ para todo $x\in Z$ e $|\tilde{f}(x)|\le p(x)$ para todo $x\in X$."

A demonstração segue de maneira análoga à demonstração da versão real do teorema.

Espaços Normados

O Teorema de Hahn-Banach para espaços normados pode ser enunciado da seguinte forma:

"Seja $f$ um funcional linear definido em um subespaço $Z$ de um espaço normado $X$. Então existe um funcional linear limitado $\tilde{f}$ em $X$ que é uma extensão de $f$ para $X$ e que possui a mesma norma, ou seja, $\Vert \tilde{f}{\Vert }_X=\Vert f{\Vert }_Z$."

A demonstração pode ser realizada a partir da primeira versão do teorema com $p(x)=\Vert f\Vert \Vert x\Vert$.

Versão Geométrica

A versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach pode ser assim enunciada:

"Seja $X$ um espaço normado e $C\subseteq X$ um subconjunto convexo e fechado de $X$. Dado $x_0\in X$, $x_0\in ̸C$, existe um funcional linear limitado $f$ que satisfaz $f(x_0)\ge f(x)$ para todo $x\in C$."

A demonstração segue a partir da definição de Funcional de Minkowski.

Consequências do Teorema de Hahn-Banach

Funcionais Lineares Limitados

A partir do Teorema de Hahn-Banach, obtém-se o seguinte resultado:

"Seja $X$ um espaço normado e $x_0\in X$, $x_0\ne 0$. Então existe um funcional linear limitado $\tilde{f}$ em $X$ que satisfaz $\Vert \tilde{f}\Vert =1$ e $\tilde{f}(x_0)=\Vert x_0\Vert$."

A demonstração pode ser feita a partir da versão do Teorema para Espaços Normados, considerando o subespaço $Z$ de todos os elementos $x=\alpha x_0$, no qual $\alpha$ é um número escalar, e definindo em $Z$ o funcional $f(x)=f(\alpha x_0)=\alpha \Vert x_0\Vert$.

Norma de um vetor

Outro resultado obtido a partir do Teorema de Hahn-Banach é dado por:

"Seja $X$ um espaço normado e $x$ um vetor de $X$, então $\Vert x\Vert =sup\frac{|f(x)|}{\Vert f\Vert }$, para todo funcional linear $f$ de $X$, $f\ne 0$."

Teorema de Philips

O Teorema de Philips é pode ser considerado uma versão do Teorema de Hahn-Banach para transformações lineares:

"Seja $X$ um espaço normado e $Z$ um subespaço de $X$. Seja ainda uma transformação linear limitada $T$ definida em $Z$ cuja imagem está no espaço $l_{\mathrm{\infty }}$. Então existe a extensão $\tilde{T}$ definida em $X$, com imagem em $l_{\mathrm{\infty }}$, que satisfaz $\tilde{T}(x)=T(x)$ para todo $x\in Z$ e $\Vert \tilde{T}\Vert =\Vert T\Vert$.