Subespaço vetorial

Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.

Definição

A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma:

Sejam $(V,F,{\oplus }_V,{\otimes }_V,+,\times )$ e $(W,F,{\oplus }_W,{\otimes }_W,+,\times )$ espaços vetoriais sobre o corpo $(F,+,\times )$. Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer:

• $W\subset V$

• $\mathrm{\forall }{w}_1\mathrm{\forall }{w}_2(w_1\in W\wedge w_2\in W\to w_1{\oplus }_W{w}_2=w_1{\oplus }_V{w}_2)$

• $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }w(x\in F\wedge w\in W\to x{\otimes }_{W}w=x{\otimes }_{V}w)$

Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por:

• ${\oplus }_V/(W\times W)={\oplus }_W$

• ${\otimes }_V/(F\times W)={\oplus }_W$

usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio.

De modo geral, quando se diz que $(V,F,\oplus ,\otimes ,+,\times )$ é um espaço vetorial e $W\subset V$, presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que $0_V\in W$ e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.

Exemplos

• Em ${ℝ}^3$, o conjunto ${ℝ}^2\times \{0\}$ é um subespaço vetorial.

• Se considerarmos que $ℂ$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb{Q}$, então $ℝ$ é um subespaço vetorial.

• O conjunto $W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ é um subespaço vetorial de ${ℝ}^3$.

• O conjunto dado pelas equações paramétricas $W=\{(u+3v,-u-v,2u+v):u,v\in ℝ\}$ é um subespaço vetorial de ${ℝ}^3$.

• Os exemplos acimas são casos particulares de uma classe de exemplos: seja $L:V\to W$ uma função linear. Então o núcleo de L (denotado por ker(L)) e a imagem de L (denotada por Im(L)) são subespaços vetoriais, respectivamente, de V e W.

Ver também

• Base de um Espaço Vetorial