Espaço dual

Base dupla em espaços de produtos escalares.

Em matemática, qualquer espaço vetorial $V$ sobre um corpo $𝕂$ pode ser associado a um espaço dual, denotado $V^{\prime }$, consistindo dos funcionais lineares $f:V\to 𝕂$. Quando $V$ é um espaço vetorial topológico, considera-se também o espaço $V^{*}$dos funcionais lineares contínuos, chamado espaço dual topológico. Nesse caso, geralmente o espaço dual $V^{\prime }$ é chamado de espaço dual algébrico .

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneira abstrata a relação entre os vetores linha (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneira, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébrico

O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial $V$ sobre um corpo $𝕂$ é costumeiramente denotado $V^{\prime }$ ou $V^{*}$ e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

$(\varphi +\psi )(x)=\varphi (x)+\psi (x)$

$(\lambda \varphi )(x)=\lambda \varphi (x)$

Para todo $\varphi ,\psi$ em $V^{*}$, $\lambda$ em $𝕂$ e $x$ em $V$.

Caso de dimensão finita

Se $V$ é um espaço vetorial de dimensão finita, então $V^{*}$ tem a mesma dimensão de $V$. Seja $ℬ=\{e_1,...,e_n\}$ uma base de $V$, então a base dual é dada pelo conjunto ${ℬ}^{*}=\{f_1,...,f_n\}$ onde:

${𝐟}_i({𝐞}_j)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }i=j\\ 0,& \text{se }i\ne j\end{array}$

Predefinição:Collapse top Primeiramente, veja que $f$ é linear. Sejam $x,y\in V$ tais que $x={\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_n{e}_n$ e $y={\beta }_1{e}_1+\dots +{\beta }_n{e}_n$ (ou seja, $f_i(x)={\alpha }_i$ e $f_i(y)={\beta }_i$). Logo, $x+\lambda y=({\alpha }_1+\lambda {\beta }_1)e_1+\dots +({\alpha }_n+\lambda {\beta }_n)e_n$ e $f_i(x+\lambda y)={\alpha }_i+\lambda {\beta }_i=f_i(x)+\lambda f_i(y)$. Portanto, $f_i\in V^{*}$ para $i=1,2,\dots ,n$.

Além disso, suponha que ${\lambda }_1{f}_1+\cdots +{\lambda }_n{f}_n=0\in V^{*}$. Aplicando esse funcional nos vetores da base de $V$ sucessivamente, conclui-se que ${\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_n=0$ (o funcional aplicado em $e_i$ resulta em ${\lambda }_i$). Portanto, ${ℬ}^{*}$ é linearmente independente em $V^{*}$.

Por fim, considere $g\in V^{*}$. Então

$g(x)=g({\alpha }_1{e}_1+\dots +{\alpha }_n{e}_n)={\alpha }_{1}g(e_1)+\dots +{\alpha }_{n}g(e_n)=f_1(x)g(e_1)+\dots +f_n(x)g(e_n)$

${ℬ}^{*}$ gera $V^{*}$. Portanto, ${ℬ}^{*}$ é base de $V^{*}$. Predefinição:Collapse bottom

Exemplos

Se a dimensão de $V$ é finita, então $V^{*}$ tem a mesma dimensão que $V$; se $\{e_1,...,e_n\}$ é uma base para V, então a base dual associada $\{e^1,...,e^n\}$ de $V^{*}$ é dada por:

$e^i(e_j)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }i=j\\ 0,& \text{se }i\ne j\end{array}$

Específicamente, se é interpretado ${ℝ}^n$ como espaço de colunas de $n$ números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de $n$ números. Tal linha atua em ${ℝ}^n$ como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.

Duplo dual algébrico

Dado um espaço vetorial $V$, sempre podemos considerar seu duplo dual $V^{″}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(V^{\prime }{)}^{\prime }$, que consiste em todos os funcionais lineares $f:V^{\prime }\to 𝕂$. Existe um homomorfismo canônico entre $V$ e $V^{″}$, ou seja, existe uma transformação $V\to V^{″}$, definida por

$\begin{array}{cccccc}J:V& \to V^{″}& & & & \\ v& \mapsto f_v:V^{\prime }& & \to 𝕂& & \\ & \varphi & & \mapsto \varphi (v)& & \\ \end{array}$

que é linear. Além disso, $J$ é sempre injetora e é um isomorfismo entre os espaços vetoriais $V$ e $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}J$. Note, porém, que em geral $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}J\ne V^{″}$; de outro modo, pode ser que existam $f\in V^{″}$ tais que $f\ne f_v$ para todo $v\in V$.

Espaço dual topológico

Quando se tem, além da estrutura de espaço vetorial, uma topologia compatível com as operações de soma e multiplicação por escalar (espaço vetorial topológico), os funcionais lineares mais interessantes passam a ser os contínuos. O conjunto dos funcionais lineares contínuos, chamado de espaço dual topológico (ou simplesmente espaço dual) e denotado $V^{*}$, é um subespaço do espaço dual algébrico $V^{\prime }$.

Dados $\phi \in V^{\ast }$ e $v\in V$, algumas vezes usamos a notação $⟨\phi ,v{⟩}_{V^{\ast },V}$ ou simplesmente $⟨\phi ,v⟩$ ao invés de $\phi (x)$. A notação $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{V^{\ast },V}$ é conhecida como par dualidade entre $V^{\ast }$ e $V$.

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja $H$ um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que $\varphi$ é um funcional linear contínuo se, e somente se, existe um $z\in H$ tal que

$\varphi (x)=⟨z,x⟩,\mathrm{\forall }x\in H$.

Duplo dual topológico

Dado um espaço vetorial normado $X$, sempre podemos considerar seu duplo dual $X^{**}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(X^{*}{)}^{*}$, que consiste em todos os funcionais lineares contínuos $f:X^{\prime }\to 𝕂$. Existe um homomorfismo canônico entre $X$ e $X^{**}$, ou seja, existe uma transformação $X\to X^{**}$, definida por

$\begin{array}{cccccc}J:X& \to X^{**}& & & & \\ x& \mapsto f_x:X^{*}& & \to 𝕂& & \\ & \varphi & & \mapsto \varphi (x)& & \\ \end{array}$

que é linear. Além disso, $J$ é sempre injetora, limitada e isométrica ($\Vert Jx\Vert =\Vert x\Vert$), este último fato sendo uma consequência do teorema de Hahn-Banach. Por isso, $J$ é um isomorfismo entre os espaços normados $X$ e $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}J$. Note, porém, que em geral $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}J\ne X^{**}$; de outro modo, pode ser que existam $f\in X^{**}$ tais que $f\ne f_x$ para todo $x\in X$.

Caso valha, de fato, que $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}J=X^{**}$, o espaço $X$ é dito ser reflexivo. Exemplos de espaços reflexivos são os espaços de Hilbert e os de dimensão finita. Predefinição:Referências

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld
• dual space - PlanetMath