Função injectiva

Na matemática, uma função injectiva (ou injetora) é uma função que preserva a distinção: nunca aponta elementos distintos de seu domínio para o mesmo elemento de seu contradomínio. Em outras palavras, cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio. Ou seja, Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam $x_1$ e $x_2$ (pertencentes ao domínio da função), $x_1$ é diferente de $x_2$ implica que f($x_1$) é diferente de f($x_2$): $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2).$ Predefinição:Gallery Graficamente, uma função $f$ é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Ocasionalmente, uma função injetiva de $X$ a $Y$ é denotada $f:X\rightarrowtail Y,$ usando uma seta com uma "cauda separada" (Predefinição:Unichar). O conjunto de funções injetivas de $X$ a $Y$ pode ser denominado $Y^{\underset{\_}{X}}$ usando uma notação derivada daquela usada para decrescimento de potências fatoriais, uma vez que se $X$ e $Y$ são conjuntos finitos com respectivamente $m$ e $n$ elementos, o número de injeções de $X$ a $Y$ é $n^{\underset{\_}{m}}.$

Um monomorfismo é uma generalização de uma função injetiva na teoria das categorias.

Definição

Seja $f$ uma função cujo domínio é um conjunto $X.$ Diz-se que a função $f$ é injetiva desde que para todos $a$ e $b$ em $X,$ sempre que $f(a)=f(b),$ então $a=b;$ isto é, $f(a)=f(b)$ implica $a=b.$ Equivalente, se $a\ne b,$ então $f(a)\ne f(b).$

Simbolicamente,

$$\mathrm{\forall }a,b\in X,f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$$

que é logicamente equivalente à contrapositiva,

$$\mathrm{\forall }a,b\in X,a\ne b\Rightarrow f(a)\ne f(b)$$

Exemplos

• A função $f:ℝ\to ℝ,$ definida por $f(x)=x^2$ não é injectiva, pois existe pelo menos um $a\in ℝ$ tal que $f(a)=f(-a),$ por exemplo, para $a=2.$ Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, existem dois valores diferentes que possam substituir a variável $x$ para que o valor da função $f(x)$ seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
• A função $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ definida por $f(x)=x^2$ é injectiva, pois implica que $f(a)$ deve ser diferente de $f(b),$ para $a\ne b.$ Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável $x$ somente pelo número 2.
• A função $f:ℝ\to ℝ,$ definida por $f(x)=x^3$ é injectiva, pois implica que $f(a)$ deve ser diferente de $f(b),$ para $a\ne b.$ Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 8, poderíamos substituir a variável $x$ somente pelo número 2, enquanto que para que a função seja igual a -8, poderíamos substituir a variável $x$ somente pelo número -2.

Aplicações lineares

• Uma transformação linear $T:U\to V$ é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo $ker(T)$ — ou ainda, $N(T)$ — contiver apenas o vetor nulo e, pois, tiver dimensão zero — isto é, $dim(ker(T))=0.$

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T não é injetora → $T(u)=T(v),$ com $u\ne v,$ para algum $u,v\in U.$

Das propriedades da transformação linear:

→ $T(u)-T(v)=0\iff T(u-v)=0$

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

→ $\{u-v\}\subseteq ker(T)\therefore ker(T)\ne \{0\}\to dim(ker(T))>0.$

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se $\text{T é injetora}\leftrightarrow ker(T)=\{0\}\leftrightarrow dim(ker(T))=0.$

• Uma transformação linear $A:E\to F$ também é dita injetiva se, e somente se, leva vetores L.I em vetores L.I. (LI = linearmente independentes)

Segue a demonstração:

→ Prova da ida:

Hipótese: A é injetiva

Tese: A leva vetores LI em vetores LI.

Se $v1,v2,...,vn\in E$ são linearmente independentes provaremos que $A(v1),A(v2),...,A(vn)\in F$ são linearmente independentes.

Com efeito se $\alpha 1.A(v1)+\alpha 2.A(v2)+...+\alpha n.A(vn)=0$

Usando a linearidade de A:

⇒ $A(\alpha 1.v1)+A(\alpha 2.v2)+...+A(\alpha n.vn)=0$

⇒ $A(\alpha 1.v1+\alpha 2.v2+...+\alpha n.vn)=0$

Então temos que $\alpha 1.v1+\alpha 2.v2+...+\alpha n.vn$ pertence ao núcleo de $A,$ e como $A$ é injetiva, $Ker(A)=\{0\},$ ou seja,

$\alpha 1.v1+\alpha 2.v2+...+\alpha n.vn=0$, como $v1,v2,...,vn$ são LI tem-se $\alpha 1=\alpha 2=...=\alpha n=0$, ou seja $A(v1),A(v2),...,A(vn)$ são linearmente independentes.

← Prova da volta:

Hipótese: A leva vetores LI em vetores LI.

Tese: A é injetiva.

Sendo $v\ne 0,v\in E\Rightarrow \{v\}$ é LI então $\{A(v)\}$ é $\text{LI}\Rightarrow A(v)\ne 0,$ portanto $Ker(A)=\{0\}$ e $A$ é injetiva.

Segue-se desse teorema que se $E$ tem dimensão finita, $dim(F)\ge dim(E),$ assim por exemplo não existe transformação linear injetiva de ${ℝ}^3$ em ${ℝ}^2.$

Injeções podem ser desfeitas

Cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio. Assim, é possível 'desfazer' a função, ou seja, encontrar uma função inversa que retorne ao valor original.

Funções com inversas à esquerda são sempre injeções. Isto é, dado $f:X\to Y,$ se houver uma função $g:Y\to X$ tal que, para cada $x\in X,$

$$g(f(x))=x$$ ($f$ pode ser desfeita por $g$)

então $f$ é injetiva. Nesse caso, $g$ é chamada de retração de $f.$ Por outro lado, $f$ é chamado de seção de $g.$

Inversamente, toda injeção $f$ com domínio não vazio tem uma $g$ inversa à esquerda, que pode ser definida fixando um elemento a no domínio de $f$ de modo que $g(x)$ seja igual à pré-imagem única de $x$ sob $f,$ se existir e $g(x)=a$ caso contrário.Predefinição:Refn

A inversa à esquerda $g$ não é necessariamente um inverso de $f$ porque a composição na outra ordem, $f\circ g,$ pode diferir da identidade em $Y.$ Em outras palavras, uma função injetora pode ser "invertida" por uma inversa à esquerda, mas é não necessariamente invertível, o que requer que a função seja bijetiva.

Injeções podem tornar-se invertíveis

Na verdade, para transformar uma função injetora $f:X\to Y$ em uma função bijetiva (portanto, invertível), basta substituir seu contradomínio $Y$ pelo seu intervalo real $J=f(X).$ Isto é, vamos $g:X\to J$ tal que $g(x)=f(x)$ para todo $x$ em $X;$ então g é bijetiva. De fato, $f$ pode ser fatorada como $inc{l}_{J,Y}\circ g,$ onde $inc{l}_{J,Y}$ é a função de inclusão de $J$ em $Y.$

Mais geralmente, as funções parciais injetivas são chamadas de bijeções parciais.

Outras propriedades

• Se $f$ e $g$ são ambas injetivas, então $f\circ g$ é injetiva.

A composição de duas funções injetivas é injetiva

• Se $g\circ f$ é injetiva, então $f$ é injetiva (mas $g$ não precisa ser).
• $f:X\to Y$ é injetiva se, e somente se, dadas quaisquer funções $g,h:W\to X$ sempre que $f\circ g=f\circ h,$ então $g=h.$ Em outras palavras, funções injetivas são precisamente os monomorfismos na categoria Conjunto de conjuntos.
• Se $f:X\to Y$ é injetiva e $A$ é um subconjunto de $X,$ então $f^{-1}(f(A))=A.$ Assim, $A$ pode ser recuperado de sua imagem $f(A).$
• Se $f:X\to Y$ é injetiva e $A$ e $B$ são ambos subconjuntos de $X,$ então $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).$
• Cada função $h:W\to Y$ pode ser decomposta como $h=f\circ g$ para uma injeção adequada $f$ e uma sobrejeção $g.$ Esta decomposição é única até o isomorfismo, e $f$ pode ser considerada como a função de inclusão do intervalo $h(W)$ de $h$ como um subconjunto do contradomínio $Y$ de $h.$
• Se $f:X\to Y$ é uma função injetiva, então $Y$ tem pelo menos tantos elementos quanto $X,$ no sentido de números cardinais. Em particular, se, além disso, houver uma injeção de $Y<$ para $X,$ então $X$ e $Y$ terão o mesmo número cardinal. (Isso é conhecido como o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder.)
• Se tanto $X$ quanto $Y$ são finitos com o mesmo número de elementos, então $f:X\to Y$ é injetiva se e somente se $f$ é sobrejetiva (nesse caso $f$ é bijetiva).
• Uma função injetiva que é um homomorfismo entre duas estruturas algébricas é uma incorporação.
• Ao contrário da sobrejetividade, que é uma relação entre o gráfico de uma função e seu contradomínio, a injetividade é uma propriedade do gráfico da função sozinha; isto é, se uma função $f$ é injetiva pode ser decidida considerando apenas o gráfico (e não o contradomínio) de $f.$

Provando que as funções são injetivas

Uma prova de que uma função $f$ é injetiva depende de como a função é apresentada e quais propriedades ela contém. Para funções que são dadas por alguma fórmula, há uma ideia básica. Usamos a contrapositiva da definição de injetividade, ou seja, se $f(x)=f(y),$ então $x=y.$

Exemplo 1

$$f=2x+3$$

Prova: Seja $f:X\to Y.$ Suponha que $f(x)=f(y).$ Então, $2x+3=2y+3\Rightarrow 2x=2y\Rightarrow x=y.$ Portanto, segue da definição que $f$ é injetiva.

Exemplo 2

$$h(x)=\frac{2x+5}{1+x^2}$$$h(x)$ não é injetiva, já que para $h(0)$ e $h\left(\frac{2}{5}\right)$ temos $h(0)=h\left(\frac{2}{5}\right)=5$ , ou seja, $h(x)=h(y)$ com $x\ne y$.

Existem vários outros métodos para provar que uma função é injetiva. Por exemplo, no cálculo se $f$ é uma função diferenciável definida em algum intervalo, então é suficiente mostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Na álgebra linear, se $f$ é uma transformação linear, é suficiente mostrar que o núcleo de $f$ contém apenas o vetor zero. Se $f$ é uma função com domínio finito, basta olhar a lista de imagens de cada elemento de domínio e verificar se nenhuma imagem ocorre duas vezes na lista.

Ver também

• Função sobrejetiva
• Função bijectiva
• Teorema da função inversa

Referências

• Predefinição:Citation, p. 17 ff.
• Predefinição:Citation, p. 38 ff.

Ligações externas

• Aula sobre os tipos de funções
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
• Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions