Função inversa

A função inversa $g$ de uma função real de variável real $f$ obtém-se de $f$ por uma simetria em relação à recta $y=x$.

Em matemática, a função inversa de uma função $f:X\to Y$ é, quando existe, a função $f^{-1}:Y\to X$ tal que $f\circ f^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ e $f^{-1}\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto $X$ neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original ($Y$, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.

Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva.

Se $f:X\to Y$ for uma função injectiva de $X$ em $Y$, então $f$ é também uma função bijectiva de $X$ em $f(X)$. Consequentemente, tem uma inversa de $f(X)$ em $X$. Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de $f$, embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto $Y$.

A função inversa de uma função real de uma variável real

Seja $f:ℝ\to ℝ$ uma função bijetiva definida por $y=f(x)$. Resolvendo $y=f(x)$ para $x$ em função de $y$, temos determinado uma função $x=g(y)$. Esta função é a função inversa de $f$, i.e. $g=f^{-1}$.

Exemplo:

Para determinarmos a inversa da função $f(x)=x+1$ podemos proceder da seguinte forma:

1. $f(x)=x+1$
2. $y=x+1$
3. $x=y+1$
4. $y=x-1$
5. Portanto, $f^{-1}(x)=x-1$

Inversa à direita ou à esquerda

Dadas as funções $f:A\to B$ e $g:B\to A$, diremos que $g$ é função inversa à esquerda de $f$quando a função composta $g\circ f=i{d}_A:A\to A$ (id=função identidade), ou seja, quando $g(f(x))=x$ para todo $x$ pertencente ao conjunto A. Uma função $f$ possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva. . Por exemplo, a função $f:\mathbb{N}\to ℝ$ dada por $f(x)=2x$, que é injetiva e não sobrejetiva, tem como inversa $g(x)=\frac{x}{2}$, porque a função composta $(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{2x}{2}=x$ para todo $x\in \mathbb{N}$, a qual é a função identidade.

Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma inversa à direita de f quando a função composta f O g = idB:B→B, ou seja, quando f(g(x)) = x para todo y pertencente ao conjunto B. Uma função f possui inversa à direita se, e somente se, for sobrejetiva.