Função diferenciável

Uma função diferenciável

Em matemática, uma função diferenciável de uma variável real é uma função cuja derivada existe em cada ponto de seu domínio. Em outras palavras, o gráfico de uma função diferenciável tem uma reta tangente que não é vertical em cada ponto interior de seu domínio. Uma função diferenciável é suave (a função é bem aproximada localmente como uma função linear em cada ponto interior) e não contém nenhuma quebra, ângulo, ou cúspide.

Se Predefinição:Math é um ponto interior no domínio de uma função Predefinição:Mvar, então Predefinição:Mvar é dita diferenciável em Predefinição:Math se a derivada $f^{\prime }(x_0)$ existe. Em outras palavras, o gráfico de Predefinição:Mvar tem uma reta tangente não vertical no ponto Predefinição:Math. Predefinição:Mvar diz-se diferenciável em Predefinição:Mvar se é diferenciável em cada ponto de Predefinição:Mvar. Predefinição:Mvar diz-se continuamente diferenciável se sua derivada também é uma função contínua sobre o domínio da função $f$. De um modo geral, diz-se que Predefinição:Mvar é da classe Predefinição:Em se suas primeiras $k$ derivadas $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\dots ,f^{(k)}(x)$ existem e são contínuas no domínio da função $f$.

Para uma função multivariável, como mostrado aqui, a diferenciabilidade dela é algo mais complexo do que a existência das derivadas parciais dela.

Diferenciabilidade de funções reais de uma variável

Uma função $f:U\to ℝ$, definida em um conjunto aberto $U\subset ℝ$, é dita diferenciável em um $a\in U$ se a derivada

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

existe. Isso implica que a função é contínua em Predefinição:Mvar.

Esta função Predefinição:Mvar é dita diferenciável em Predefinição:Mvar se for diferenciável em cada ponto de Predefinição:Mvar. Neste caso, a derivada de Predefinição:Mvar é, portanto, uma função de Predefinição:Mvar em $ℝ$.

Uma função contínua não é necessariamente diferenciável, mas uma função diferenciável é necessariamente contínua (em todos os pontos onde é diferenciável) como mostrado abaixo (na seção Diferenciabilidade e continuidade). Diz-se que uma função é continuamente diferenciável se sua derivada também é uma função contínua; existem funções que são diferenciáveis, mas não continuamente diferenciáveis, (um exemplo é dado na seção Classes de diferenciabilidade).

Diferenciabilidade e continuidade

A função de valor absoluto é contínua (ou seja, não tem lacunas). É diferenciável em todos os lugares, exceto no ponto Predefinição:Math = 0, onde faz uma curva fechada ao cruzar o eixo Predefinição:Math.

Uma cúspide no gráfico de uma função contínua. Em zero, a função é contínua, mas não diferenciável

Se Predefinição:Math é diferenciável em um ponto Predefinição:Math, então Predefinição:Math também deve ser contínua em Predefinição:Math. Em particular, qualquer função diferenciável deve ser contínua em todos os pontos de seu domínio. O inverso não é válido: uma função contínua não precisa ser diferenciável. Por exemplo, uma função com dobra, cúspide pode ser contínua, mas não diferenciável no local da anomalia.

A maioria das funções que ocorrem na prática tem derivadas em todos os pontos ou em quase todos os pontos. No entanto, um resultado de Stefan Banach afirma que o conjunto de funções que possuem uma derivada em algum ponto é um conjunto escasso no espaço de todas as funções contínuas. Informalmente, isso significa que funções diferenciáveis são muito atípicas entre funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar, é a função de Weierstrass.

Classes de diferenciabilidade

Funções diferenciáveis podem ser aproximadas localmente por funções lineares

A função $f:ℝ\to ℝ$ com $f(x)=x^2\mathrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$ para $x\ne 0$ e $f(0)=0$ é diferenciável. No entanto, esta função não é continuamente diferenciável

Predefinição:Artigo principal Uma função $f$ é dita Predefinição:Em se a derivada $f^{\prime }(x)$ existe e é ela própria uma função contínua. Embora a derivada de uma função diferenciável nunca tenha uma descontinuidade de salto, é possível que a derivada tenha uma descontinuidade essencial. Por exemplo, a função $$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\mathrm{sen}(1/x)& \text{ se }x\ne 0\\ 0& \text{ se }x=0\end{array}$$ é diferenciável em 0, pois $$f^{\prime }(0)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\left(\frac{{\epsilon }^2\mathrm{sen}(1/\epsilon )-0}{\epsilon }\right)=0$$ existe. No entanto, para $x\ne 0$, as regras de diferenciação implicam $$f^{\prime }(x)=2x\mathrm{sen}(1/x)-\cos (1/x),$$ que não tem limite quando $x\to 0$. Assim, este exemplo mostra a existência de uma função que é diferenciável, mas não continuamente diferenciável (ou seja, a derivada não é uma função contínua). No entanto, o teorema de Darboux implica que a derivada de qualquer função satisfaz a conclusão do teorema do valor intermediário.

Da mesma forma como as funções contínuas são consideradas de Predefinição:Em, as funções continuamente diferenciáveis são às vezes consideradas de Predefinição:Em. Uma função é Predefinição:Em se a primeira e a segunda derivada da função existem e são contínuas. De forma mais geral, diz-se que uma função é de Predefinição:Em se as primeiras $k$ derivadas $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\dots ,f^{(k)}(x)$ todas existem e são contínuas. Se as derivadas $f^{(n)}$ existem para todos os inteiros positivos $n$, a função é suave ou equivalente, de Predefinição:Em.

Diferenciabilidade em dimensões superiores

Uma função de várias variáveis reais Predefinição:Math é dita diferenciável em um ponto Predefinição:Math se existe um mapa linear Predefinição:Math tal que:

$\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }\frac{\Vert 𝐟({𝐱}_{\mathrm{𝟎}}+𝐡)-𝐟({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})-𝐉\mathbf{(}𝐡\mathbf{)}{\Vert }_{{𝐑}^n}}{\Vert 𝐡{\Vert }_{{𝐑}^m}}=0$

Se uma função é diferenciável em Predefinição:Math, então todas as derivadas parciais existem em Predefinição:Math, e o mapa linear Predefinição:Math é dado pela matriz jacobiana, uma matriz n × m neste caso. Uma formulação semelhante da derivada de dimensão superior é fornecida pelo lema do incremento fundamental encontrado no cálculo de variável única.

Se todas as derivadas parciais de uma função existem na vizinhança de um ponto Predefinição:Math e são contínuas no ponto Predefinição:Math, então a função é diferenciável naquele ponto Predefinição:Math.

Entretanto, a existência das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direcionais) não garante que uma função seja diferenciável em um ponto. Por exemplo, a função Predefinição:Math definida por:

$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}x& \text{se }y\ne x^2\\ 0& \text{se }y=x^2\end{array}$$

não é diferenciável em Predefinição:Math, mas todas as derivadas parciais e direcionais existem neste ponto. Para um exemplo contínuo, a função

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}{y}^3/(x^2+y^2)& \text{se }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{se }(x,y)=(0,0)\end{array}$

não é diferenciável em Predefinição:Math, mas novamente todas as derivadas parciais e direcionais existem. Predefinição:VT

Diferenciabilidade em análise complexa

Predefinição:Artigo principal Na análise complexa, a diferenciabilidade complexa é definida usando a mesma definição que as funções reais de variável única. Isso é permitido pela possibilidade de dividir números complexos. Assim, uma função $f:ℂ\to ℂ$ é dita diferenciável em $x=a$ quando:

$f^{\prime }(a)=\underset{\underset{h\in ℂ}{h\to 0}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Embora essa definição pareça semelhante à diferenciabilidade de funções reais de variável única, é, no entanto, uma condição mais restritiva. Uma função $f:ℂ\to ℂ$, que é diferenciável complexa em um ponto $x=a$ é automaticamente diferenciável nesse ponto, quando vista como uma função $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$. Isso ocorre porque a diferenciabilidade complexa implica que:

$\underset{\underset{h\in ℂ}{h\to 0}}{\lim }\frac{|f(a+h)-f(a)-f^{\prime }(a)h|}{|h|}=0$

No entanto, uma função $f:ℂ\to ℂ$ pode ser diferenciável como uma função multivariável, embora não seja diferenciável complexa. Por exemplo, $f(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$ é diferenciável em cada ponto, visto como a função real bivariável $f(x,y)=x$, mas não é diferenciável em nenhum ponto porque o limite $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h+\overline{h}}{2h}$ fornece valores diferentes para diferentes abordagens de 0.

Qualquer função que é complexamente diferenciável na vizinhança de um ponto é chamada de holomorfa naquele ponto. Tal função é necessariamente infinitamente diferenciável e, de fato, analítica.

Funções diferenciáveis em variedades

Se M é uma variedade diferenciável, uma função real ou de valor complexo f em M é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de p. Se M e N são variedades diferenciáveis, uma função f: M → N é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de p e f(p).