Matriz jacobiana

A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

Definição formal

Seja $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, ou seja, uma função que denominaremos "F", com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função $F_i:{ℝ}^n\to ℝ$ . As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:

Em linguagem matemática	Em Português
$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$	Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função $F_1$ em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de $F_2$ (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de $F_m$ em relação a todos os xs.

Notação

A Jacobiana é representada por $J_F(x_1,\dots ,x_n)$ ou $\frac{\partial (F_1,\dots ,F_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}$

A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de $F_k$

Determinante Jacobiano

O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

Exemplos

• Exemplo 1: Seja $F(x,y)=(x^2+y^2,xy)$ . Aqui, $F_1=x^2+y^2$ e $F_2=xy$. A matriz jacobiana de F é:

$J_F(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial F_1}{\partial x}& \frac{\partial F_1}{\partial y}\\ & \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}& \frac{\partial F_2}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x& 2y\\ y& x\end{array}\right]$

O determinante Jacobiano é $2(x^2-y^2)$ .

• Exemplo 2: Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\mathrm{sen}\theta \end{array}$

A Jacobiana é dada então por:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\mathrm{sen}\theta \\ \mathrm{sen}\theta & r\cos \theta \end{array}\right]$

O Jacobiano é $r$. portanto poderá ser feito de acordo com alguns métodos matemáticos

• Exemplo 3 (mudança de variáveis em Estatística, relacionado à distribuição de Erlang): Seja (X,Y) um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de probabilidade conjunta $f_{x,y}(x,y)$. Seja também G uma função $G:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ injectiva (portanto com inversa) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é função de duas variáveis reais, tal que

$\{\begin{array}{cc}u=& g_1(x,y)\\ v=& g_2(x,y)\end{array}$, sendo que g1 e g2 possuem derivadas parciais em relação a x e a y

Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V)=G(X,Y). Como determinar a densidade de probabilidade conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?

Como G tem inversa, podemos escrever:

$\{\begin{array}{cc}x=& h_1(u,v)\\ y=& h_2(u,v)\end{array}$

A densidade conjunta de (U,V) será: $f_{U,V}(u,v)=\left|J\right|f_{X,Y}{h}_1(u,v)h_2(u,v)$, em que $\left|J\right|$ representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o módulo de $\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial h_1(u,v)}{\partial u}& \frac{\partial h_1(u,v)}{\partial v}\\ \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial u}& \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial v}\end{array}\right|$.

Assim, digamos que (U,V) = (X+Y,X-Y). Teremos então

$\{\begin{array}{cc}u=& x+y\\ v=& x-y\end{array}⟶\{\begin{array}{cc}x=& u-y\\ y=& x-v\end{array}⟶\{\begin{array}{cc}x=& u-(x-v)\\ y=& (u-y)-v\end{array}⟶$ $\{\begin{array}{ccc}x=& h_1(u,v)=& \frac{u+v}{2}\\ y=& h_2(u,v)=& \frac{u-v}{2}\end{array}$

O determinante jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação) será $\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial h_1(u,v)}{\partial u}& \frac{\partial h_1(u,v)}{\partial v}\\ \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial u}& \frac{\partial h_2(u,v)}{\partial v}\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|=|-\frac{1}{2}|$. O módulo deste determinante é $\frac{1}{2}$. A função densidade de probabilidade conjunta é, portanto:

$f_{U,V}(u,v)=\left|J\right|f_{X,Y}{h}_1(u,v)h_2(u,v)=\frac{1}{2}{f}_{X,Y}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})$

Aproximação linear

A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$ pode ser aproximada por:

$F(𝐱)\approx F({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})+J_F({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})\cdot (𝐱-{𝐱}_{\mathrm{𝟎}}{)}^T$

sendo $𝐱$ um ponto próximo de ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$. Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

Ver também

• Matriz Hessiana

Predefinição:Classes de matriz