Função de Weierstrass

O gráfico da função de Weierstrass é um fractal

Em matemática, a função de Weierstrass é um importante contra-exemplo mostrando a existência de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em nenhum ponto do domínio. Recebe o nome em honra a seu descobridor o matemático Karl Weierstrass. A função de Weierstrass é primeira função publicada a apresentar tal patologia.

Embora seja considerada por muitos como um caso patológico, pode-se afirmar que, em certo sentido, o comportamento da função de Weierstrass é o caso mais comum. Sendo o conjunto das funções diferenciáveis em pelo menos um ponto um conjunto magro dentro do espaço de Banach das funções contínuas com a norma do supremo.

Definição

A função de Weierstrass é definida pela seguinte série de Fourier:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^n\cos (b^n\pi x)$

onde $a\in (0,1)$ e $b$ é um inteiro positivo ímpar tal que:

$ab>1+\frac{3}{2}\pi$

Nova Demonstração do Teorema de Weierstrass

O nosso objetivo aqui é apresentar uma demonstração do teorema de Weierstrass

usando apenas noções relativas às séries de Fourier.

Teorema de Weierstrass

A função dita de Weierstrass definida por :

$W(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}^n\cos (a^n\pi x)$

onde $b\in (0,1)$ e $a$ é um inteiro positivo ímpar tal que

$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ ,é contínua em $ℝ$ e não diferenciável em qualquer ponto.

Continuidade de W

Observe que :

$b\in (0,1)$

implica :

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}^n=\frac{1}{1-b}<\mathrm{\infty }$.

Isso junto com

$su{p}_{x\in R}|b^n\cos (a^n\pi x)|\le b^n$

nos permite estabelecer , usando o Weierstrass $M-test$, que

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}^n\cos (a^n\pi x)$

converge uniformemente para $W(x)$ em $ℝ$ .

A Continuidade de $W$ vem então da convergência uniforme das séries.

(Definição 2.41 e Teorema 2.59 do livro ).

Não Diferenciabilidade de W (em qualquer ponto)

Aqui, usamos os lemas 3.2 e 3.3 do Capítulo 4 do livro de Shakarchi

Quando:

$2N=b^n$, então

${\mathrm{\Delta }}_{2N}(W)-{\mathrm{\Delta }}_N(W)=b^n\cos (a^n\pi x);$

Supondo que $W$ é diferenciável em $x_0$, obtemos o seguinte resultado :

${\mathrm{\Delta }}_{2N}(W{)}^{\prime }(x_0)-{\mathrm{\Delta }}_N(W{)}^{\prime }(x_0)=(b^n\cos (a^n\pi x){)}^{\prime }=O(\log N)$,

ou seja,

$|(ab{)}^{n}sen(a^n(x_0+h))|=O(\log N)$, onde $|h|\le c/N$.

Para obter a contradição, precisamos apenas escolher $h$ de modo que:

$|sen(a^n(x_0+h))|=1$ ;

Tomando:

$|h|=|\delta |/a^n$,

onde

$\delta =\pi (k+1/2)-a^n{x}_0$,

para algum $k\in Z$, temos:

$|(ab{)}^{n}sen(a^n(x_0+h))|=(ab{)}^n\to \mathrm{\infty }$ quando $n\to \mathrm{\infty }$ ,

pois

$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ .

Contradição,

pois :

$|(ab{)}^{n}sen(a^n(x_0+h))|=O(\log N)$.

Portanto, $W$ não é diferenciável em $x_0$ .

Como $x_0\in ℝ$ é arbitrário,

temos que $W$ não é diferenciável em qualquer ponto.

Conclusão

A função de Weierstrass $W$ é contínua em todos os pontos de

$ℝ$ mas não é diferenciável em qualquer ponto de $ℝ$ .

Ligações externas

• http://www.wolframalpha.com/entities/mathworld/weierstrass_function/ei/zb/8y/Predefinição:Ligação inativa

Ver também

• Função de Liouville
• Função de Mertens
• Soma de Ramanujan

Referências

• Harmonic Analysis:from Fourier to Wavelets / María Cristina Pereyra , Lesley A. Ward/ ISBN 978-0-8218-7566-7
• Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116–117