Espaço de Banach

Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach (1892–1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.

Definições preliminares

Espaços métricos

Sejam $M$ um conjunto não-vazio e $d$ uma métrica em $M$, dizemos que o par ($M$, $d$) é um espaço métrico.

Espaço vetorial normado

Seja $E$ um espaço vetorial sobre um corpo e $\Vert .\Vert$ uma norma de $E$. O par ($E$, $\Vert .\Vert$ ) é um espaço vetorial normado.

• Um espaço normado ($E$, $\Vert .\Vert$) pode ser considerado um espaço métrico ($E$, $d$), basta definir a seguinte métrica

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$, para todo $x,y\in E$.

De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo $x,y,z\in E$, resulta:

• $d(x,x)=\Vert x-x\Vert =\Vert 0\Vert =0$;
• Se $x\ne y$ e $x>y$, então $\Vert x-y\Vert =x-y>0$, $d(x,y)>0$.

Para o caso de $x<y$, temos: $\Vert x-y\Vert =-(x-y)=y-x>0$;

• $d(x,y)=\Vert x-y\Vert =\Vert (-1)(y-x)\Vert =|-1|.\Vert y-x\Vert =|1|.\Vert y-x\Vert =\Vert y-x\Vert =d(y,x)$;
• $d(x,z)=\Vert x-z\Vert =\Vert x+(-y+y)-z\Vert =\Vert (x-y)+(y-z)\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert y-z\Vert$.

Assim, todo espaço normado ($E$, $\Vert .\Vert$) é um espaço métrico ($E$, $d$), com $d$ sendo a métrica induzida pela norma $\Vert .\Vert$. De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

• É possível mostrar também que se $E$ é um espaço vetorial sobre os reais, munido de uma métrica $d$, essa métrica é induzida por uma norma se, e somente se, satisfaz:
  1. $d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |d(x,y),\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ;\mathrm{\forall }x,y\in E;$
  2. $d(x+z,y+z)=d(x,y),\mathrm{\forall }x,y,z\in E.$

Sequência de Cauchy

Uma sequência $(x_n)$ em um espaço métrico $M$ chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo $ϵ>0$ dado, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $m,n>n_0$ implica $d(x_m,x_n)<ϵ$.

Intuitivamente, à medida que o índice $n$ cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

• Toda sequência convergente é de Cauchy.
• Toda sequência de Cauchy é limitada.

Espaços métricos completos

Um espaço métrico $M$ é completo quando toda sequência de Cauchy em $M$ é convergente em $M$.

• Para mostrar que um espaço métrico $M$ não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em $M$ que não seja convergente.
• O espaço métrico $\mathbb{Q}$ não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais $(x_n)$ convergindo para um número irracional $a$. Por exemplo, $x_1=1;x_2=1,4;x_3=1,41;x_4=1,414...,$ com $\lim x_n=\sqrt{2}$. Assim, $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy no espaço métrico $\mathbb{Q}$, mas não é convergente em $\mathbb{Q}$.

Definição

Um espaço vectorial normado $E$ é chamado espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em $E$ é convergente em $E$.

Quando queremos mostrar que um espaço é normado, a principal dificuldade ocorre em se demonstrar a desigualdade triangular. Há algumas desigualdades que nos auxiliam bastante neste processo:

Desigualdade de Young

Dados $a,b\in ℝ,p,q\in (1,+\mathrm{\infty })$ tais que $a,b>0\text{ e }\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ (dizemos que $p\text{ e }q$ são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade:

$ab⩽\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$

Desigualdade de Hölder

Dados $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\in {ℝ}^n,p,q\in (1,+\mathrm{\infty })$ conjugados de Hölder, vale a desigualdade:

$\sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|⩽{(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q)}^{\frac{1}{q}}.$

Se definimos um produto coordenada a coordenada em ${ℝ}^n$ da forma $xy=(x_1{y}_1,x_2{y}_2,\cdots ,x_n{y}_n)$, podemos reescrever a desigualdade como:

$\Vert xy{\Vert }_1⩽\Vert x{\Vert }_p\Vert y{\Vert }_q.$

Desigualdade de Minkowski

Dados $x,y\in {ℝ}^n\text{ e }p\in (1,+\mathrm{\infty })$, vale a desigualdade:

$\Vert x+y{\Vert }_p⩽\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p.$

Propriedades

1. Se $X$ é espaço vetorial normado, e $Y\subseteq X$ é subespaço vetorial, então $Y$ é um espaço vetorial normado, com norma herdada do espaço $X$.
2. Se $X$ é espaço de Banach e $Y\subseteq X$ é subespaço vetorial, então $Y$ é espaço de Banach se, e somente se, $Y$ é fechado em $X$.
3. Para todo espaço vetorial normado $X$, é possível estender a norma de forma que o completamento de $X$, denotado $\tilde{X}$, seja espaço vetorial normado completo, ou seja, $\tilde{X}$ é espaço de Banach.

Exemplos

• Os números reais e os números complexos são espaços de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.
• Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach.
• O espaço das funções contínuas reais definidas no intervalo $[0,1]$ é um espaço de Banach com a norma do supremo:

$\Vert f\Vert =\underset{x\in [0,1]}{\sup }|f(x)|.$

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

• Nos espaços euclidianos ${ℝ}^n$, existem várias normas a se considerar que o tornam espaço de Banach:
  • $({ℝ}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2)$, sendo $\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}={\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ a norma euclidiana usual.
  • $({ℝ}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p)$, definindo, para $p\in [1,+\mathrm{\infty })$, a norma $\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$.

Os espaços ${\ell }^p$

Vendo que os espaços ${ℝ}^n$ das n-uplas de números reais são espaços de Banach, queremos estender a definição de norma nesses espaços para o conjunto das sequências a fim de torná-las também em espaços de Banach.

Tomemos então $p\in [1,+\mathrm{\infty })$, e definamos o conjunto

${\ell }^p=\{x=(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\in {ℝ}^{\mathbb{N}}|\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p<+\mathrm{\infty }\}$, munido das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.

Podemos verificar que esse espaço é de fato um espaço vetorial com essas operações, e definindo a norma

$\Vert \cdot {\Vert }_p={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$

é possível verificar que $({\ell }^p,\Vert \cdot {\Vert }_p)$ é um espaço de Banach.

O espaço ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ e seus subespaços

Tomando novamente o espaço das sequências de números reais, definindo

${\ell }^{\mathrm{\infty }}=\{x=(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\in {ℝ}^{\mathbb{N}}:(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\text{ é limitada }\}$

e tomando a norma $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i\in \mathbb{N}}{\sup }|x_i|$, temos que $({\ell }^{\mathrm{\infty }},\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$ é espaço de Banach.

Definindo os subconjuntos de ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$

$c=\{x\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}:x\text{ é convergente}\}$;

$c_0=\{x\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}:x\text{ é convergente a }0\}$;

$c_{00}=\{x\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}:x\text{ é eventualmente nula}\}$.

Vemos que $c_{00}\subseteq c_0\subseteq c\subseteq {\ell }^{\mathrm{\infty }}$, sendo cada um deles subespaço do espaço que o contém. Desses espaços, $c$ e $c_0$ são espaços de Banach, com a norma herdada de ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$.

O espaço vetorial normado $c_{00}$ não é de Banach, pois não é completo. De fato, tome a sequência em $c_{00}$:

• $x_1=(1,0,0,0,\cdots )$
• $x_2=(1,\frac{1}{2},0,0,\cdots )$
• $x_3=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},0,0,\cdots )$
• $⋮$
• $x_k=(1,\frac{1}{2},\cdots ,\frac{1}{k},0,0,\cdots )$.

Verificamos que $(x_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ é convergente a $x=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{k},\frac{1}{k+1},\cdots )\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}$, mas $x\notin c_{00}$.

Espaço da transformações lineares entre espaços normados

Dados espaços normados $X,Y$, uma transformação $T:X\to Y$ é:

• linear, se $T(\lambda x_1+x_2)=\lambda T(x_1)+T(x_2),\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X.$
• contínua em $x_0$, se $\mathrm{\forall }(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\text{ em }X,\text{ com }{x}_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}{x}_0,\text{ temos que }T(x_n)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}T(x_0)$.
• contínua, se $T$ for contínua em todo $x_0\in X$.
• limitada, se $\mathrm{\exists }C>0\text{ tal que }\Vert T(x)\Vert \le C\Vert x\Vert ,\mathrm{\forall }x\in X.$

É possível mostrar que são equivalentes:

1. $T$ é contínua.
2. $T$ é contínua no $0_X$.
3. $T$ é limitada.
4. $T$ leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

Definindo o conjunto $ℒ(X,Y)=\{T:x\to Y|T\text{ linear e limitada}\}$ e a norma $\Vert T\Vert =\underset{x\in B_X}{\sup }\Vert T(x)\Vert$, onde $B_X=\{x\in X:\Vert x\Vert \le 1\}$, $(ℒ(X,Y),\Vert \cdot \Vert )$ é um espaço de Banach, contanto que $Y$ seja de Banach.

Ver também

• Álgebra de Banach — quando o espaço é uma álgebra sobre um corpo, com propriedades consistentes entre o produto de vetores e a norma.

Referências

• Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas