Espaço completo

Predefinição:Sem-fontes Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.

Exemplos

• O conjuntos dos números reais $ℝ$ com a métrica usual $d(x,y)=|x-y|$ é completo.
• Qualquer subconjunto fechado de $ℝ$ é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completos

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, $\overline{E}$, com as seguintes propriedades:

• A inclusão i: E → $\overline{E}$, i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
• E é denso em $\overline{E}$.
• $\overline{E}$ é um espaço completo.

Pode-se mostrar que $\overline{E}$ é único, no seguinte sentido:

• Se $\overline{E_1}\text{ e }\overline{E_2}$ são espaços métricos completos, $i_k:E\to \overline{E_k}$ são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então $\overline{E_1}\text{ e }\overline{E_2}$ são isométricos.

Esboço da construção

A construção de $\overline{E}$ é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.