Espaço compacto

Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).

Definição e Equivalências

Um recobrimento para um conjunto $X$ é uma coleção $ℛ$ de subconjuntos de $X$ tal que $\bigcup ℛ=X$. Um subrecobrimento de $ℛ$ é uma coleção $𝒮\subseteq ℛ$ que também é um recobrimento de $X$, i.e. $\bigcup 𝒮=X$.

Diz-se que um espaço topológico $X$ é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de $X$ admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família $ℱ$ de subconjuntos de um conjunto $X$ possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer ${ℱ}_0\subseteq ℱ$ finita, verificar $\bigcap {ℱ}_0\ne \mathrm{\varnothing }$. É passivo de verificação que, um espaço topológico $X$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de $X$ com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico $X$ é uma coleção de abertos $𝒜$ de $X$ tal que, para qualquer aberto $U\subseteq X$, existe ${ℬ}_U\subseteq ℬ$ tal que $U=\bigcup {ℬ}_U$. Uma subbase para $X$ é uma coleção $𝒮$ não-vazia de abertos desse espaço tal que

$\{\bigcap {𝒮}_0:{𝒮}_0\subseteq 𝒮\text{ e }{𝒮}_0\text{ é finita e não-vazia}\}$

é uma base de $X$. É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico $X$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de $X$ por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se $X$ é um espaço topológico, diz-se que um ponto $x\in X$ é um ponto de acumulação total de um subconjunto $A\subseteq X$ se, dada qualquer vizinhança $U\subseteq X$ de $x$, $|A\cap U|=|A|$. É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes

• $X$ é compacto;
• Qualquer subconjunto infinito de $X$ possui um ponto de acumulação completo;
• Dada qualquer sequência transfinita $\subseteq$-decrescente $⟨F_{\lambda }{⟩}_{\lambda <\alpha }$ de fechados não-vazios de $X$, a intersecção $\bigcap _{\lambda <\alpha }{F}_{\lambda }$ é não-vazia.

É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço $X$, são equivalentes:

• X é (quase-)compacto;
• Para qualquer espaço $Y$ a projeção $p:X\times Y\to Y$ é fechada;
• Para qualquer espaço normal $Y$ a projeção $p:X\times Y\to Y$ é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff $X$, é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

• $X$ é (quase-)compacto;
• Qualquer filtro em $X$ admitir um ponto de acumulação;
• Qualquer rede em $X$ admitir um ponto de acumulação.

Exemplos

• Qualquer espaço finito é quase-compacto;
• Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
• A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
• Qualquer conjunto fechado e limitado de um espaço euclididano (${ℝ}^n$) é compacto.Predefinição:Sfn
• Qualquer compacto da Reta de Sorgenfrey é enumerável.

Propriedades

• Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto;
• Qualquer compacto é um espaço normal;
• Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado;
• Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto.
• Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo;
• A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
• (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
• Toda função contínua de ${ℝ}^n$ em ${ℝ}^m$ definida num compacto é uniformemente contínua.Predefinição:Sfn

Ver também

• Espaço sequencialmente compacto
• Espaço enumeravelmente compacto
• Paracompacidade
• Espaço de Lindelöf
• Compactificação

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.

• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).

• Predefinição:Citar livro

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• Predefinição:Springer.
• Predefinição:Citation (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).
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Ligações externas

• Predefinição:Planetmathref
• Predefinição:Citar arXiv