Continuidade uniforme

Gráfico de uma função uniformemente contínua

Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial. Isto quer dizer que a partir de uma pequena variação da imagem podemos encontrar uma única variação do domínio que sirva para todos os pontos.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

Definição nos Números Reais

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.Predefinição:Carece de fontes Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função $y=\phi (x)$ que, quando a variável independente $x$ passa por todos os valores reais entre $a$ e $b$, o valor de $\phi (x)$ nunca se torna infinito e cobre todos valores entre $\phi (a)$ e $\phi (b)$. Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre $a$ e $b$, dados quaisquer valores $x_1$ e $x_2$ entre $a$ e $b$, os valores de $\phi (x_1)$ e $\phi (x_2)$ devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor $\epsilon$ um valor $\delta$ tal que sempre que $|x_1-x_2|<\delta$, tem-se que $|\phi (x_1)-\phi (x_2)|<\epsilon$. Em outras palavras, sendo $f$ uma função real definida em $X$, diremos que $f$ é uniformemente contínua quando dado $\epsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que

$|x-y|<\delta ⟹|(f(x)-f(y)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x,y\in X$

Definição em Espaços Métricos

Para a função $f:X\to Y$ definida do espaço métrico $X$ para o espaço métrico $Y$, $f$ é dita uniformemente contínua se dado $\epsilon >0$ existe um $\delta >0$ tal que:

$d(x,y)<\delta ⟹d(f(x),f(y))<\epsilon ,\mathrm{\forall }x,y\in X$

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x,y\in X,(d(x,y)<\delta ⟹d(f(x),f(y))<\epsilon )$

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }y\in X,(d(x,y)<\delta ⟹d(f(x),f(y))<\epsilon )$

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um $\delta$ para cada $x$, enquanto que a continuidade uniforme exige um $\delta$ global, para todo $x$.

Para dizer que uma função real $f$ não é uniformemente contínua, basta mostrar que se dado $\epsilon >0$, seja qual for $\delta >0$, podemos encontrar $x$ e $y$ no domínio de $f$ tal que

$|x-y|<\delta$ mas $|(f(x)-f(y)|\ge \epsilon$.

Propriedades

As propriedades e exemplos são baseados no livro Curso de Análise volume 1, de Elon Lages Lima.

1. Se uma função real $f$ definida em $X$ é lipschitziana, então é uniformemente contínua. Sendo $f$ lipschitziana com constante de lipschitz $C>0$, então para todo $x$ e $y$ em $X$ tem-se $C|x-y|\ge |f(x)-f(y)|$. Dado $\epsilon >0$, basta tomar $\delta =\frac{\epsilon }{C}$ e então $|x-y|<\delta ⟹|x-y|<\frac{\epsilon }{C}⟹C|x-y|<\epsilon ⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon .$
2. Seja $f$função real definida em $X$ e uniformemente contínua. Se $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy em $X$, então $(f(x_n))$é uma sequência de Cauchy. Como $f$ é uniformemente contínua, dado $\epsilon >0$, existe $\delta >0$tal que $|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon .$Sendo $(x_n)$de Cauchy, dado esse $\delta >0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que para todo $m,n>n_0$tem-se $|x_m-x_n|<\delta .$ Como $(x_n)\subset X$ segue que para todo $m,n>n_0$ temos $|f(x_m)-f(x_n)|<\epsilon .$Logo $(f(x_n))$é de Cauchy.
3. Se $X$ é compacto, então toda função contínua definida em $X$ é uniformemente contínua. Suponha por contradição que $f$ é uma função definida em $X$ e não é uniformemente contínua. Então existe $\epsilon >0$, tal que para cada $n\in \mathbb{N}$, podemos encontrar $x_n\in X$ e $y_n\in X$ tais que $|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$ mas $|f(x_n)-f(y_n)|\ge \epsilon .$Como $X$ é compacto, uma subsequência $(x_{n_k})$converge para $a\in X.$ Assim temos $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_{n_k}=a.$ Como $f$ é contínua, segue que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{n_k})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(y_{n_k})=f(a),$ o que contradiz $|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\ge \epsilon .$ Logo $f$ é uniformemente contínua.

Exemplos

1. A função $f(x)=\frac{1}{x}$não é uniformemente contínua. Dado $\epsilon >0$, seja $\delta >0$ escolhido. Tome um número positivo $y$ tal que $y<\delta$ e $y<\frac{1}{3\epsilon }$. Então para $x=y+\frac{\delta }{2}$ temos $|x-y|<\delta$, mas $|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|=|\frac{1}{y+\frac{\delta }{2}}-\frac{1}{y}|=|\frac{2}{2y+\delta }-\frac{1}{y}|=\frac{\delta }{(2y+\delta )y}>\frac{\delta }{3\delta \cdot y}=\frac{1}{3y}>\epsilon$.
2. A função $f(x)=ax+b$, com $a\ne 0$, é uniformemente contínua. Dado $\epsilon >0$, escolha $\delta =\frac{\epsilon }{|a|}$. Então qualquer que seja $y\in ℝ$temos, $|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|ax-ay|=|a||x-y|<|a|\delta =\epsilon$.
3. A função $f(x)=x^2$é uniformemente contínua se $x$ for limitado. De fato, se $|x|\le k$ para todo $x\in X$, dados quaisquer $x,y\in X$ temos $|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x+y|\cdot |x-y|\le (|x|+|y|)\cdot |x-y|\le 2k|x-y|.$ Logo f é lipschitziana e pela propriedade 1 é uniformemente contínua.
4. A função $f(x)=x^3$ não é uniformemente contínua. De fato, sendo $x_n=\frac{n+1}{n}$ e $y_n=n$ temos $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n-y_n)=0$, mas $x_n^3-y_n^3\ge 3.$
5. A função $f(x)=\sqrt{x}$ definida em $[0,1]$é contínua. Como $[0,1]$ é compacto, pela propriedade 3, $f$ é uniformemente contínua.