Função modular

O módulo ou valor absoluto (representado matematicamente como $|a|$) de um número real $a$ é o seu valor numérico absoluto, ou seja, desconsiderando-se seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.

Definição de módulo

O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:

$|a|=\{\begin{array}{cc}a,& \text{se }a\ge 0\\ -a,& \text{se }a<0.\end{array}$

Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.

Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos

Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.

Definição de função modular

Uma função modular é uma aplicação de $ℝ$ em $ℝ$ quando cada $x\in ℝ$ está associado um elemento $|x|\in ℝ$.

Logo uma função modular é uma função definida por partes, e sua forma mais geral é dada por:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x,& \text{se }x\ge 0\\ -x,& \text{se }x<0.\end{array}$

Essa é a forma mais geral de uma função modular, porém é possível que haja diferentes tipos de funções combinadas com funções modulares.

Propriedades

Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que

$|a|=\sqrt{a^2}$

$(1)$

que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto de um número real.

O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

$|a|\ge 0$	$(2)$	É não negativo
$|a|=0⟺a=0$	$(3)$	É positivo definido
$|ab|=|a||b|$	$(4)$	É multiplicativo
$|a+b|\le |a|+|b|$	$(5)$	É subaditivo

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

$|-a|=|a|$	$(6)$	Simetria
$|a-b|=0⟺a=b$	$(7)$	Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)
$|a-b|\le |a-c|+|c-b|$	$(8)$	Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)
$|a/b|=|a|/|b|\text{ (se }b\ne 0)$	$(9)$	Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
$|a-b|\ge ||a|-|b||$	$(10)$	(equivalente à subaditividade)

No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:

$|a|\le b⟺-b\le a\le b$

$|a|\ge b⟺a\le -b\text{ ou }b\le a$

Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

$|x-3|\le 9$	$⟺-9\le x-3\le 9$
	$⟺-6\le x\le 12$

O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.

Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:

• $|a{|}^2=a^2,\mathrm{\forall }a\in ℝ$
• $|-a|=|a|,\mathrm{\forall }a\in ℝ$
• $|a+b|\le |a|+|b|,\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$